线代CH1-3.ppt

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1、线性代数第三讲BYZHU16-Jul-21第五节初等变换和初等矩阵第一章矩阵引例一、初等变换的引入-----方程组的同解变换求解线性方程组我们来分析用消元法解下列方程组的过程．小结：1．上述解方程组的方法称为Gauss消元法．2．（1）交换两个方程的次序；（3）一个方程加上另一个方程的常数k倍．（　与　相互替换）（以　　　替换　）（2）以不等于０的常数乘上某个方程；（以　　　　替换　）3．上述三种变换都是可逆的．由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并

2、未参与运算．若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵(方程组（I）的增广矩阵）的变换．定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:二、矩阵的初等变换定义2矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换．初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．逆变换逆变换逆变换等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价关系．例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价定义由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等方阵.矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.三、初等矩阵的概念第i

3、列定理1设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵.初等变换初等矩阵初等逆变换初等逆矩阵定理1设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵.初等变换初等矩阵初等逆变换初等逆矩阵四、初等矩阵的应用特点：例如，标准形定理3A为可逆方阵的充分必要条件是存在有限个初等方阵（应用一）利用初等变换求逆阵的方法：解例2初等行变换例3解列变换行变换1.初等行(列)变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．3.

4、矩阵等价具有的性质2.初等变换五、小结4.单位矩阵初等矩阵.一次初等变换5.利用初等变换求逆阵的步骤是:思考题1思考题1解答解思考题2思考题2解答注：可逆矩阵。