线代速成提纲

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1、一、行列式（四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等））1．行列式的定义：用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2．行列式的计算：一阶

2、α

3、=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法：定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。方法：选取比较简单的一行（列），保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。特殊情况：（1）上、下三角形行列式、对角形行列式的值

4、等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况：行列式某行（列）元素全为0；行列式某行（列）的对应元素相同；行列式某行（列）的元素对应成比例；奇数阶的反对称行列式。二．矩阵（矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程）1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2．矩阵的运算：（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A、B为同

5、阶方阵，则

6、AB

7、=

8、A

9、

10、B

11、；④

12、kA

13、=k^n

14、A

15、3．矩阵的秩：（1）定义：非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法：一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。4．逆矩阵：（1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝E，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）；（2）性质：(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1)，(A')^-1=(A^-1)'；（3）可逆的条件：①

16、A

17、≠0；②r(A

18、)=n;③A->I;（4）逆的求解：①伴随矩阵法　A^-1=(1/

19、A

20、)A*；(A*A的伴随矩阵~)②初等变换法（A:I）->(施行初等变换)（I:A^-1）　5．用逆矩阵求解矩阵方程：AX=B，则X=（A^-1）B；XB=A，则X=B(A^-1)；AXB=C，则X=(A^-1)C(B^-1) 三、线性方程组（含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解））1．线性方程组解的判定定理：(1)r(A,b)≠r(A)无解；(2)r(A,b)=r(A)=n有唯一解；(3)r(A,b)=r(A)

21、线性方程组AX=0，(1)r(A)=n只有零解；(2)r(A)

22、A

23、≠0只有零解；(2)

24、A

25、=0有非零解2．齐次线性方程组（1）解的情况：r(A)=n，（或系数行列式D≠0）只有零解；r(A)

26、=u+c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r。（3）无穷多组解的求解方法和步骤：与齐次线性方程组相同。（4）唯一解的解法：有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法（初等变换法）。四、向量组（讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化）1．N维向量的定义注：向量实际上就是特殊的矩阵（行矩阵和列矩阵）。2．向量的运算：（1）加减、数乘运算（与矩阵运算相同）；（2）向量内积　α'β=a1b1+a2b2+…+anbn；（3）向量长度：

27、α

28、=√α'α=√(a1^2+a2^2+…

29、+an^2)(√根号)；（4）向量单位化：(1/

30、α

31、)α；（5）向量组的正交化（施密特方法）设α1，α2，…，αn线性无关，则　β1=α1，β2=α2-（α2’β1/β1’β）*β1，β3=α3-（α3’β1/β1’β1）*β1-（α3’β2/β2’β2）*β2，………。3．线性组合：（1）定义：若β=k1α1+k2α2+…+knαn，则称β是向量组α1，α2，…，αn的一个线性组合，或称β可以用向量组α1，α2，…，αn的一个线性表示。（2）判别方法：将向量组合成矩阵，记A＝(α1，α2，…，αn)，B=(α1，α2，…，αn,β)；若r(A)=r(B)

32、，则β可以用向量组α1，α2，…，αn的一个线性表示