[精品]线代论文

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1、浅谈行列式制冷与低温工程01班周嘉彬1009070134行列式在数学中，是一个函数，其定义域为nxn的矩阵A,取值为一个标量，写作det（A）或丨A丨。行列式可以看做是有向而积或体积的概念在-•般的欧儿里得空间中的推广。或者说，在n维欧儿里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作屮已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式

2、开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义。行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数直观定义，一个n阶方块矩阵A的行列式可直观地定义如下：det（刃=力時跑）亀应用t=1其中，轨是集合｛1,2,n｝上置换的全体，即集合｛1,2,n｝到自身上的—映射的全体；表示对弘全部元素的求和，即对于每个aw&t,项sgn（^）n呦啲»=1在加法

3、算式中出现一次；毛试时表示置换斜■的符号差，具体地说，满足L祜勺州但喊的冇序数对帖淋为。的一个逆序，如果"的逆序共有偶数个，则砂9扫L,如果共有奇数个，则砂⑷扫-1。此外对于每一对满足坏』咻的数对（M）,7是矩阵A的第i行第j列的元素。举例来说,对于3元置换^=（231）（即是说少⑴=2,

4、中项心畑的符号是负的[2B][26]o注意到对于任意止整数n,Sn共拥有n!个元素，因此上式中共有n!个求和项,即这是一个冇限多次的求和。对于简单的2阶和3阶的矩阵，行列式的表达式相对简单，而且恰好是每条主对角线（左上至右下）元素乘积之和减去每条副对角线（右上至左下）元素乘积之和（见图中红线和蓝线）。2阶矩阵的行列式:=—曲牡2,1[27]•3阶矩阵的行列式：◎1,1®1„2色矗电1雀2a2F3=®lFl®2p2®3R3+fflR2a2p3ff34+®lR3a24a3F2—^1,3^2.2^34一隹T&2[28]三阶矩阵的行列式为每条红线上的元索的乘积之和

5、，减去蓝线上元索乘积之和。但对于阶数^>4的方阵A,这样的主对角线和副对角线分别只有n条，由于A的主、副对角线总条数二2n〈（n-l）n

6、成的矢量组的行列式测。行列式的一些基木性质，可以由它的多线性以及交替性推出。•在行列式屮，一行（列）元素全为0,则此行列式的值为0[51]o°an2•…&和•在行列式屮,某一行（列）有公因子k,则可以提出2人®11®12«11=5•在行列式中，某一行（列）的每个元索是两数之和,两个相加的行列式⑸］。则此行列式可拆分为•行列式中的两行（列）互换，改变行列式正负符号⑶】。®11■®12…■■«11■®L2…■Sin■®L1■®12…■■■弧+■■■■■■■毎2+血2…■■■■■■屜+b遍■■—■■■■■■■■■链2•…■■■■■■■■+■■bn■■■■■■■屉

7、…■■■■■环I■■^n2•…■■■・乐l2•…■■■■&祁2・・・•在行列式小，有两行（列）对应成比例或相同，则此行列式的值为0⑵］。22・・・286・・・$毎2■・・靭・・・•将一行(列)的k倍加进另一行(列)里，行列式的值不变⑸］。毎1硯2■…隔叼1+足伦L叼2+圧逐2・・・狂/n十k隔-行(列)的k倍加上另一行(列)，行列式的值改变。注意:怨丹+屜•将行列式的行列互换，行列式的值不变，其中行列互换相当于转置冋［52］。这个性质可以简单地记作D=

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