第12讲函数三要素.pdf

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1、第12讲函数三要素一、映射1、定义设A、B为两个非空集合,如果按照某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射2、映射种类(1)单射一个萝卜一个坑(2)满射每个坑都有萝卜(3)双射(一一对应)一个萝卜一个坑,每个坑都有萝卜(既是单射,又是满射)(4)复合映射(复合函数)(5)逆映射(反函数)双射才有逆映射【例】A={1,2,3,4},B={a,b,c},则A→B映射有___种;B→A单射有____种;A→B满射有___种?【例】A={a,b,c,d},B={0,1,2}

2、,A→B(1)不同的映射f有多少种(2)若要求f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=4,则不同的映射有多少种二、函数基本概念1、函数定义A、B是非空数集,对于A中的任意一个x,按照某种对应法则f,在B中都有唯一确定的y与之对应,就称f:A→B为集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A2、函数三要素对应法则、定义域、值域3、复合函数概念一般地,若u是x的函数,记作u=g(x);y是u的函数,记作y=f(u);若函数g(x)的值域与f(u)的定义域的交集非空,则通过u确定了y是x的复合函数y=f(g(x))。其中u叫中间变量,y=f(u)叫外层函数;u=g(x)

3、叫内层函数。三、函数相关题型1、定义域(1)具体函数?,?≠0?2?√?,?≥0?0、?−?,?≠0{?????,?>0【例1】(2)抽象函数f():括号的作用范围一样定义域指的是自变量x的取值范围【例2、3】2、值域(1)分段函数——图象(数形结合)【例4】(2)二次函数——图象(数形结合)对于y=ax2+bx+c(a>0)在区间[m,n]上求最小值?1、对称轴在区间右侧,即−≥?时,最小值为f(n)2???2、对称轴在区间内,即m<−0)在区间[m,n

4、]上求最大值?+??1、区间中点在对称轴左侧,即≤−时,最大值f(m)22??+??2、区间中点在对称轴左侧,即>−时,最大值f(n)22?【例5】(3)分式??+?分离常数+换元?={【例6】??+?图象2??+??+??={换元+对勾、双撇函数【例7】??+???+??={换元+对勾、双撇函数【例7】??2+??+?2??+??+?分离常数+对勾、双撇?={{??2+??+??∈?,判别式法1、一次分式?????−????−????+??(??+?)−?+?????2y===+=+???+???+????+???+?dd定义域(−∞,−)∪(−,+∞)ccaa值域(

5、−∞,)∪(,+∞)ccd(−∞,−)cbc−ad>0,减区间单调区间{}{dbc−ad<0,增区间(−,+∞)cda图象关于(−,)对称cc若f(f(x))=x,则有a=−d2、双勾函数a函数y=x+(a>0)x定义域(−∞,0)∪(0,+∞)奇偶性:奇函数(0,√a)单调递减;(√a,+∞)单调递增单调性:{(−∞,−√a)单调递增;(−√a,0)单调递减{值域:(−∞,−2√a)∪(2√a,+∞)3、双撇函数a函数y=x−(a>0)x定义域(−∞,0)∪(0,+∞)奇偶性:奇函数单调性:(−∞,0)和(0,+∞)单调递增{值域:R(4)根式单调性:形如y=√f(x

6、)+√g(x),f(x)和g(x)增减性相同有理化:例y=√x−√x−2平方:例y=√x−√5−x换元:例y=x−√5−x{数形结合:例y=√x2−2x+5+√x2+2x+23、解析式(尖端)(1)已知简单函数解析式求复合函数解析式:直接代入(2)已知复合函数解析式求简单函数解析式:换元、配凑(3)已知函数方程求解析式

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