第12讲函数三要素.pdf

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1、第12讲函数三要素一、映射1、定义设A、B为两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射2、映射种类（1）单射一个萝卜一个坑（2）满射每个坑都有萝卜（3）双射（一一对应）一个萝卜一个坑，每个坑都有萝卜（既是单射，又是满射）（4）复合映射（复合函数）（5）逆映射（反函数）双射才有逆映射【例】A={1,2,3,4}，B={a,b,c}，则A→B映射有___种；B→A单射有____种；A→B满射有___种?【例】A={a,b,c,d}，B={0,1,2}

2、，A→B（1）不同的映射f有多少种（2）若要求f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=4，则不同的映射有多少种二、函数基本概念1、函数定义A、B是非空数集，对于A中的任意一个x，按照某种对应法则f，在B中都有唯一确定的y与之对应，就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A2、函数三要素对应法则、定义域、值域3、复合函数概念一般地，若u是x的函数，记作u=g(x)；y是u的函数，记作y=f(u)；若函数g(x)的值域与f(u)的定义域的交集非空，则通过u确定了y是x的复合函数y=f(g(x))。其中u叫中间变量，y=f(u)叫外层函数；u=g(x)

3、叫内层函数。三、函数相关题型1、定义域（1）具体函数?，?≠0?2?√?，?≥0?0、?−?，?≠0{?????，?>0【例1】（2）抽象函数f()：括号的作用范围一样定义域指的是自变量x的取值范围【例2、3】2、值域（1）分段函数——图象（数形结合）【例4】（2）二次函数——图象（数形结合）对于y=ax2+bx+c（a>0）在区间[m,n]上求最小值?1、对称轴在区间右侧，即−≥?时，最小值为f(n)2???2、对称轴在区间内，即m<−0）在区间[m,n

4、]上求最大值?+??1、区间中点在对称轴左侧，即≤−时，最大值f(m)22??+??2、区间中点在对称轴左侧，即>−时，最大值f(n)22?【例5】（3）分式??+?分离常数+换元?={【例6】??+?图象2??+??+??={换元+对勾、双撇函数【例7】??+???+??={换元+对勾、双撇函数【例7】??2+??+?2??+??+?分离常数+对勾、双撇?={{??2+??+??∈?，判别式法1、一次分式?????−????−????+??(??+?)−?+?????2y===+=+???+???+????+???+?dd定义域(−∞，−)∪(−，+∞)ccaa值域(

5、−∞，)∪(，+∞)ccd(−∞，−)cbc−ad>0，减区间单调区间{}{dbc−ad<0，增区间(−，+∞)cda图象关于(−，)对称cc若f(f(x))=x，则有a=−d2、双勾函数a函数y=x+（a>0）x定义域(−∞,0)∪(0,+∞)奇偶性：奇函数(0,√a)单调递减；(√a,+∞)单调递增单调性：{(−∞,−√a)单调递增；(−√a,0)单调递减{值域:(−∞,−2√a)∪(2√a,+∞)3、双撇函数a函数y=x−（a>0）x定义域(−∞,0)∪(0,+∞)奇偶性：奇函数单调性：(−∞,0)和(0,+∞)单调递增{值域:R（4）根式单调性：形如y=√f(x

6、)+√g(x)，f(x)和g(x)增减性相同有理化：例y=√x−√x−2平方：例y=√x−√5−x换元：例y=x−√5−x{数形结合：例y=√x2−2x+5+√x2+2x+23、解析式（尖端）（1）已知简单函数解析式求复合函数解析式：直接代入（2）已知复合函数解析式求简单函数解析式：换元、配凑（3）已知函数方程求解析式