第12讲 反比例函数

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1、第12讲反比例函数考点1反比例函数的概念一般地，形如y=(k为常数，k≠①)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数.自变量的取值范围是②.考点2反比例函数的图象与性质反比例函数y=(k≠0)的图象是③，且关于④对称.函数图象所在象限性质y=(k≠0)k＞0一、三象限(x、y同号)在每个象限内，y随x增大而⑤k＜0二、四象限(x、y异号)在每个象限内，y随x增大而⑥【易错提示】在应用反比例函数的性质时，要注意“在每个象限内”这几个字的含义，切忌说k＞0时，y就随x的增大而减小.考点3反比例函数中k的几何意义k的几何意义反比例函数图象上的点(x

2、，y)具有两数之积(xy=k)为⑦这一特点，则过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形的面积为常数⑧.结论的推导如图，过双曲线上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，所得的矩形PMON的面积S=PM·PN=⑨·⑩=⑪.∵y=，∴xy=⑫，∴S=⑬.在上图中，易知S△POM=S△PON=⑭拓展.所以过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，则以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为常数⑮.考点4确定反比例函数的解析式常用方法⑯步骤①函数解析式为y=(k≠)；②列方程；③解方程确定的值；④确定解析式.考点5反比例函数的实际应用步骤①

3、根据实际情况建立函数模型；②利用或其他学科的公式等确定函数解析式；③根据反比例函数的性质解决实际问题.【易错提示】在实际问题中，求出的解析式要注意自变量和函数的取值范围.1.确定点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横坐标代入解析式，求出y的值.若所求值等于纵坐标，则点在函数图象上.若所求值不等于纵坐标，则点不在函数图象上；②把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k，则点在函数图象上.若乘积不等于k，则点不在函数图象上.2.反比例函数值的大小比较时，应分x＞0与x＜0两种情况讨论，而不能笼统地说成“k＜0时，y随x的增大而增大”.3.在一次函数与反比例函数

4、的函数值的大小比较中，要把x的取值以两交点横坐标、原点为分界点分成四部分进行分析.命题点1反比例函数的图象和性质例1(2013·河北)反比例函数y＝的图象如图所示，以下结论：①常数m＜-1；②在每个象限内，y随x的增大而增大；③若A(-1，h)，B(2，k)在图象上，则h＜k；④若P(x，y)在图象上，则P′(-x，-y)也在图象上.其中正确的是()A.①②B.②③C.③④D.①④方法归纳：解决反比例函数题，一般采用数形结合的思想，同时注意增减性的条件是“在每个象限内”.反比例函数是中心对称图形，故若(-a，b)在反比例函数y＝图象上，则(a，-b)也

5、在反比例函数图象上.1.(2014·扬州)若反比例函数y=(k≠0)的图象经过点P(-2，3)，则该函数的图象不经过的点是()A.(3，-2)B.(1，-6)C.(-1，6)D.(-1，-6)2.(2014·无锡)已知双曲线y=经过点(-2,1)，则k的值等于.3.(2014·南京)已知反比例函数y=的图象经过点A(-2，3)，则当x＝-3时，y＝.4.(2014·连云港)若函数y=的图象在同一象限内，y随x的增大而增大，则m的值可以是.(写出一个即可)5.已知反比例函数y=(m-1)的图象在第二、四象限，求m的值，并指出在每个象限内y随x的变化情况.

6、命题点2反比例函数中k的几何意义例2(2014·济宁)如图，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y=的图象上，OA＝1，OC＝6，则正方形ADEF的边长为.【思路点拨】先确定B点坐标(1，6)，得k；设AD＝t，得E点坐标，代入反比例函数解析式求t.方法归纳：过反比例函数图象上的任一点分别向两坐标轴作垂线段，垂线段与两坐标轴围成的矩形面积等于

7、k

8、，结合函数图象所在的象限可以确定k的值，反过来，根据k的值，可以确定此矩形的面积.1.(2013·铜仁)如图，正方形ABO

9、C的边长为2，反比例函数y=的图象经过点A，则k的值是()A.2B.-2C.4D.-42.(2014·娄底)如图，M为反比例函数y=的图象上的一点，MA垂直y轴，垂足为A，△MAO的面积为2，则k的值为.3.(2014·滨州)如图，菱形OABC的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4.反比例函数y=(x<0)的图象经过顶点C，则k的值为.4.如图，点A、B在反比例函数y=(k>0,x>0)的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为M、N，延长线段AB交x轴于点C，若OM=MN=NC,△AOC的面积为6，则k的值为.5.在平面直

10、角坐标系中，若一条平行于x轴的直线l分别交双曲线y=-和y=于A，B两点，P是x轴上任意一点，