高中数学专题二次函数综合问题.doc

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1、二次函数综合问题例谈1.代数推理由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质.1.1二次函数的一般式中有三个参数.解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数.例1　已知，满足1且，求的取值范围.分析：本题中，所给条件并不足以确定参数的值，但应该注意到：所要求的结论不是的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以把1和当成两个独立条件，先用和来表示.解：由，可解得：（*）将以上二式代入，并整理得　　

2、　　　,∴.又∵，,∴.例2设，若，，,试证明：对于任意，有.分析：同上题，可以用来表示.解：∵,∴,7∴.∴当时，当时，综上，问题获证.1.2利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式例３　设二次函数，方程的两个根满足.当时，证明.分析：在已知方程两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数的表达式，从而得到函数的表达式.证明：由题意可知.,7∴,∴当时，.又,∴,综上可知，所给问题获证.1.3紧扣二次函数的顶点式对称轴、最值、判别式显合力例4已知函数。（1）将的图象向右平移两个单位，得到函数，求函数的解析式；（2）函

3、数与函数的图象关于直线对称，求函数的解析式；（3）设，已知的最小值是且，求实数的取值范围。解：(1)(2)设的图像上一点，点关于的对称点为，由点Q在的图像上，所以，于是即（3）.设，则.7问题转化为：对恒成立.即对恒成立.（*）故必有.（否则，若，则关于的二次函数开口向下，当充分大时，必有；而当时，显然不能保证（*）成立.），此时，由于二次函数的对称轴，所以，问题等价于，即，解之得：.此时，，故在取得最小值满足条件.2.数形结合二次函数的图像为抛物线，具有许多优美的性质，如对称性、单调性、凹凸性等.结合这些图像特征解决有关二次函

4、数的问题，可以化难为易.，形象直观.2.1二次函数的图像关于直线对称，特别关系也反映了二次函数的一种对称性.例5设二次函数，方程的两个根满足.且函数的图像关于直线对称，证明：.解：由题意.由方程的两个根满足,可得且,∴，7即，故.2.2二次函数的图像具有连续性，且由于二次方程至多有两个实数根.所以存在实数使得且在区间上，必存在的唯一的实数根.例6已知二次函数，设方程的两个实数根为和.（1）如果，设函数的对称轴为，求证：；（2）如果，，求的取值范围.分析：条件实际上给出了的两个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上述图像特征去等价转

5、化.解：设，则的二根为和.（1）由及，可得，即，即两式相加得，所以，;（2）由,可得.又，所以同号.∴，等价于或,即或7解之得或.2.3因为二次函数在区间和区间上分别单调，所以函数在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得；函数在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得.例7已知二次函数，当时，有，求证：当时，有.分析：研究的性质，最好能够得出其解析式，从这个意义上说，应该尽量用已知条件来表达参数.确定三个参数，只需三个独立条件，本题可以考虑，，，这样做的好处有两个：一是的表达较为简洁，二是由于正好是所给条件的区间端点和

6、中点，这样做能够较好地利用条件来达到控制二次函数范围的目的.要考虑在区间上函数值的取值范围，只需考虑其最大值，也即考虑在区间端点和顶点处的函数值.解：由题意知：，∴，∴.由时，有，可得.∴,.（1）若，则在上单调，故当时，∴此时问题获证.（2）若，则当时，7又，∴此时问题获证.综上可知：当时，有.7