清华大学微积分期末试题.pdf

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1、清华大学本科生考试试题专用纸考试课程微积分A(A)系名班级姓名学号一．填空题（每空3分，共15题）（请将答案直接填写在横线上！）nn1.lim∑=。n→∞i=1(n+i)(n+2i)2x2.∫xedx=。x2∫sin(t)dt03.lim=。3x→0xd2x4.ln(1+sint)dt=。dx∫x2x115.求曲线y=e、y=−cosπx、x=−、x=围成的区域面积。22π36.∫sinx−sinxdx=。0dx7.=。∫2x(x+1)2dx8.∫=。1x+x1x−x9.悬链线y=(e+e)，

2、x

3、≤1的弧长L=。2210.二阶方

4、程xy''−xy'−3y=0的通解为。⎧dy=y+2z⎪dx11.一阶线性常微分方程组⎨的通解为。dz⎪=2y+z⎩dx212.设x,x是二阶齐次线性常微分方程的解，则该微分方程为。13.y′′+6y′+10y=0的通解为。dyyy14.=+tan的通解为。dxxx6215.常微分方程y′−y=−xy的通解为。x二．计算题（每题10分，共4题）（请写出详细计算过程和必要的根据！）πdx1．计算4。∫0sin2x+3cos2x⎧⎪x=1+2cost⎛π3⎞2．求曲线⎨，⎜≤t≤π⎟绕x轴旋转的旋转体体积及表面积。⎪⎩y=−1+2si

5、nt⎝44⎠−x3．求微分方程y′′+2y′+y=(3x+2)e的通解。4．求一条曲线Γ：y=y(x)，其中y(x)在(−∞,+∞)是连续可微的，使得曲线Γ上的每一点切线与横轴交点的坐标等于切点横坐标的一半。三．证明题（请写出详细的证明过程！）1⎡x⎤121.（8分）设f∈C[0,1]，利用分部积分证明f(t)dtdx=(x−x)f(x)dx。∫∫0⎢x2⎥∫0⎣⎦2.（7分）设a(x)和b(x)为(−∞,+∞)上以2π为周期的连续函数，考虑一阶线性常微分方程dy=a(x)y+b(x)解的情况。dx（I）举出a(x),b(x)的一

6、个例子，使得该方程的解为下列三种情况之一：（a）没有以2π为周期的解；（b）只有一个以2π为周期的解；（c）任意解都以2π为周期。（只要就上面三种情况中的一种举一个例子即可）（II）证明该方程解的情况只能是上述三种之一。第1页/共1页