清华大学微积分课件——函数极限.pdf

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1、一、函数的极限第三讲函数极限函数极限研究的方法要注意新知识与旧知识有什麽相同与一、函数极限不同之处？更重要的是不同之处！二、函数极限的性质函数f:D→R三、函数极限的存在性数列f:N→Rf(n)→A,n→∞不同之处？四、两个重要极限f(n):n∈N自变量变化花样多！f(x):x∈R怎样描述各种变化？2011-9-512011-9-52(一)自变量变化的描述（两种基本变化趋势）（二）函数极限的定义xxx°趋向于一点•xo•1.函数在一点的极限ε−δ定义O0x→x0⇔∃δ>0,00,0

2、R,∀ε>0,∃δ>0,00−使得所有满足不等式00,0>x−x>−δ00动点x,都有f(x)−A<ε±趋向于无穷则称当x→x时,f(x)有极限A,0x→+∞⇔∃N>0,x>N或称当x→x时,f(x)趋向于A.0x→−∞⇔∃N>0,x<−N记作limf(x)=A或f(x)→A(x→x)0x→∞⇔∃N>0,x>Nx→x02011-9-532011-9-54[注意1]0

3、in1,x≠0⎪f(x)=⎨x⎪⎩1,x=02011-9-552011-9-561[注意2]limf(x)=A的几何意义是什麽？怎样定义单侧极限？x→x0y定义2：（右极限）y=f(x)设函数f(x)在点x附近有定义.0()A+ε如果存在一个实数A,对于任意给定的Ao正数ε>0,无论它多麽小,都存在一个A−ε正数δ>0,使得只要00<0,∃δ>0,使f(N(x,δ))⊂U(A,ε)02011-9-572011-9-58一点

4、极限与单侧极限有什麽关系？定义3：（左极限）定理：limf(x)存在的充分必要条件是x→x0设函数f(x)在点x附近有定义.0limf(x)与limf(x)都存在且相等.−+x→x0x→x0如果存在一个实数A,对于任意给定的1[例]设y=arctan，研究x→0的情况正数ε>0,无论它多麽小,都存在一个1.5x1πlimarctan=1+正数δ>0,使得只要−−δδ<

5、imarctanlimf(x)=Ax→0+xx→0−x−x→x0-11-1.5∴limarctan不存在！x→0x2011-9-592011-9-510x−1x−111+x−11[例1]lim2=?观察知lim2=[例2]用定义证明lim=x→1x−1x→1x−12x→0x2x−111−x[证明]显然x>−1,x≠0[证]∀ε>0,欲使−=<ε2x−122(x+1)1+x−1111−x因为−=−=x−11−x1x21+x+122(1+x+1)2−<≤εx−⇐1(0只要

6、妨设x>0,≤x−1x222(x+1)故取δ=ε,于是∀ε>0,∃δ=2ε,使当00,∃δ=ε,使当00,∃N>0,使得所有满足不等式x>N的点x,性质2:（有界性）都有f(x)−A<ε函数极限如果存在，则函数一定有界.则称当x→+∞时,f(x)有极限A,设limff((x)存在,则当

7、xy=→→1x∞时时,,ff(x)有界.0x→x∞0x或称当x→+∞时,f(x)趋向于A.即存在即存在M>M0和>δ0和>0N,使当>0,使当0xN<时δ,时,0记作limf(x)=A或f(x)→A(x→+∞)x→+∞就有就有f(x)f(≤xM)≤.M.2011-9-5132011-9-514性质4:（函数极限与数列极限的关系）性质3:（保号性）limf(x)=A存在的充分必要条件是x→x0设limf(x)=A存在x→x0对每个收敛于点x的数列{}x（x≠x