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1、一、填空题1．索末菲的量子化条件为_______。德布罗意关系为___________，用来解释光电效应的爱因斯坦公式为_______________________。2．波函数的统计解释：_________________________________________________;波函数的标准条件为_____________________。d3.几率流密度矢量J=___，几率守恒定律的公式是______________。hψ()r=ψ(x,y,z)4．一粒子的波函数为，则粒子位于x~x+dx间的几率_________。5．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动
2、的粒子___________守恒。6．力学量算符应满足的两个性质是。7．厄密算符的本征函数具有____________。答：8．设为归一化的动量表象下的波函数，则的物理意义为____________________________________。9.给出如下对易关系：______;_______;_________。2（L,L）10.z的共同本征函数是_____________;相应的本征值又分别是_______和_____.11．坐标和动量的测不准关系是____________________________。12．在定态条件下，守恒的力学量是___________________
3、____。13．隧道效应是指__________________________________________。14.ψ=R(r)Y(ϑ,ϕ)为氢原子的波函数，nlm的取值范围分别nlmnllm为。15．设体系的状态波函数为，如在该状态下测量力学量有确定的值，则力学量算符与态矢量的关系为__________。16.写出态和力学量的表象变换公式___________________________________,17.一维谐振子的归一化波函数和能级表达式。1118．设粒子处于态ψ=Y+Y+cY，Ψ为归一化波函数，Ylm为球谐函数，21032120则系数c的取值为，Lˆ2本征值为6Z2
4、出现的几Lˆ的可能值为，z率为。19．原子跃迁的选择定则为。20．为自旋算符，则，，。21．乌伦贝克和哥德斯密脱关于自旋的两个基本假设是________________________，_______________________________。22．费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有______________,玻色子所组成的全同粒子体系的波函数具有_________。23.两个全同粒子组成的体系，单粒子量子态为ϕ(q)，当它们是玻色子时波函数为kψ(q,q)=；s12当它们为费米子时,ψ(q,q)=；A1224.在量子统计中，由费米子组成的体系服从____统计，
5、由玻色子组成的体系服从____统计.三．基础题hhhhhhhh1.s、L分别为电子的自旋和轨道角动量，J=s+L为电子的总角动量。证明：[J,s⋅L]=0；2J,J[α]=0，α=x,y,z。2[]22∂f∂fpx,f(x)=−Z−2iZpx22.证明：∂x∂x。ˆ23.证明：HVˆ=+p()x是厄密算符。2m4.证明下列算符的对易关系。()5．设粒子在势阱宽度为a的一维无限深势阱中运动（其本征值和本征函数分别为222nπZ2nπxE=，ψ(x)=sin），如果粒子的状态由波函数n2n2maaa4πxπx2ψ()x=sincosaaa描述，求粒子的能量的可能值和相应的几率。6.一质量为
6、μ的粒子在一维无限深方势阱⎧0,02a中运动，写出其状态波函数和能级表达式。7.求粒子穿过一维δ势垒V(x)=γδ(x)(γ>0)时，波函数ψ(x)及其ψ′(x)的边界条件。diZ*8.何谓几率流密度？已知几率流密度j=∇()ψψψψ−∇*，证明：几率流连续性方程2m∂ρd+∇⋅=j0。∂thhhhh2229.证明：[L,Lα]=0,[s,sα]=0,[J,s⋅L]=0，其中α=x、y、z,J=s+L。10.证明：厄密算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。11.设粒子处于一维无限深势阱⎧0,0a中，求处于定
7、态ψn()x中的粒子位置x的平均值。α−α2x2/2−iωt/2122ψ(x,t)=e,V=mωx1/212.一个谐振子处于基态：π求势能2的平均值及动能2T=p2m的平均值。13.证明下列关系式：[Lˆ2,Lˆ=,3)(σd⋅σd)2=3−（2σd⋅σd）1）．，2）.]0±1212d(其中Lˆ为角动量算符，Lˆ=Lˆ±iLˆ，σ为泡利算符，pˆ为动量算符)±xy114．对于自旋为的体系，求Sˆ+Sˆ的本征值和本征态，在具有较小的本征值所相应
