量子力学 期末考试复习题

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1、量子力学考研模拟题(1)一、（30分）回答下列问题：（1）何谓微观粒子的波粒两象性？（2）波函数是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？的物理意义是什么？（3）分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？（4）物理上可观测量应该对应什么样的算符？为什么？（5）坐标x分量算符与动量x分量算符是对易关系是什么？并写出两者满足的不确定关系。（6）厄米算符的本值与本征矢

2、n>分别具有什么性质？二（20分）设氢原子处于的状态上，求能其量、角动量平方及角动量Z分量的可能取值与相应的取值概率，进而求出它们的平均值。

3、三、（25分）设厄米算符的本征矢为,构成正交归一完备函数系，定义一个算符（1）计算对易（2）证明（3）计算阵迹（4）若算符的矩阵元为证明35四、（25分）自旋为，固有磁矩为（其中为实常数）的粒子，处于均匀外磁场中，设t=0时粒子处于的状态。（1）求出t>0时的波函数；（2）求出t>0时与的可测值及相应的取值概率。五、（25分）已知二维谐振子的哈密顿算符为，对其施加微扰后，利用微扰论求基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。六、（25分）设粒子处于Ylm(q,j)态,求该态中Lx,Ly,Lz的平均值.量子力

4、学自测题(1)答案一、（30分）回答下列问题：（1）何谓微观粒子的波粒两象性？解微观粒子既不是粒子，也不是波。更确切地说，它既不是经典意义下的粒子，也不是经典意义下的波，但是，它即具有经典粒子的属性（具有确定的质量、电荷与自旋），又具有经典波动的属性（具有干涉及衍射现象）。严格地说，微观粒子就是微观粒子，粒子与波只是微观粒子的两种不同属性。如果硬是要用经典的概念来理解它的话，那么，微观粒子既具有经典粒子的属性又具有经典波动的属性，是经典粒子与经典波动这一矛盾的综合体。（2）波函数是用来描述什么的？它应该满足什么

5、样的自然条件？的物理意义是什么？解波函数是用来描述体系状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。表示在ｔ时刻附件ｄτ体积元中粒子出现的概率密度。（3）分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？解当粒子在坐标趋向无穷远时，描述粒子状态的波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。若一个本征值对应一个以上不同的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号，若得到的新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。

6、（4）物理上可观测量应该对应什么样的算符？为什么？解物理上可观测量对应线性厄米算符。线性是状态叠加原理要求的，厄米算符的本征值是实数，可与（实数）观测值比较。（5）坐标x分量算符与动量x分量算符是对易关系是什么？并写出两者满足的不确定关系。35解对易关系为不确定关系为Δx·Δ。（6）厄米算符的本值与本征矢

7、n>分别具有什么性质？解本征值为实数，本征矢构成正交、归一和完备的函数系。二（20分）设氢原子处于的状态上，求其能量、角动量平方及角动量Z分量的可能取值与相应的取值概率，进而求出它们的平均值。解选为描述体系的

8、力学量完全集，氢原子的本征解为(r,)=其中量子数的取值范围是n=1,2,3,……；=0,1,2,……，n-1；m=,-1,-2,……，-+1,-利用归一化条件求出归一化常数为氢原子的能量只与主量子数n有关，依题题可知，n的可能取值有两个，即n=2,3,于是；；角动量量子数l的可能取值只有一个，即l=1,故有角动量磁量子数m的可能取值有两个，即m=-1,0,于是；；35三、（25分）设厄米算符的本征矢为,构成正交归一完备函数系，定义一个算符（1）计算对易（2）证明（3）计算阵迹（4）若算符的矩阵元为证明解（1）

9、对于任意一个态矢，有故（2）（3）算符的阵迹为（4）算符而35四、（25分）自旋为，固有磁矩为（其中为实常数）的粒子，处于均匀外磁场中，设t=0时粒子处于的状态。（1）求出t>0时的波函数；（2）求出t>0时与的可测值及相应的取值概率。解体系的哈密顿算符为在泡利表象中，哈密顿算符的本征解为（1）在t=0时，粒子处于的状态，即式中，是相应于本征值为1的本征态。为了求出在泡利表象中的具体形式，需要求解满足的本征方程解之得于是有由于哈密顿算符不显含时间，故t>0时刻的波函数为35（2）因为所以是守恒量，它的取值概率与

10、平均值不随时间改变。换句话说，只要计算出t=0时，的取值概率，就知道了t>0时的取值概率。由于故有的取值概率为而五、（25分）已知二维谐振子的哈密顿算符为，对其施加微扰后，利用微扰论求基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。提示：，其中为线谐振子的第n个本征矢。解体系的哈密顿算符为其中35已知的解为其中n1、n2、n=0,1,2，…i=1,2,3,…，fn将前三个能量与波函数具体