极限思想及其计算方法.pdf

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1、第3卷第1期淮北职业技术学院学报ol3No1Z004年3月JOURNALOFHUAIBEIPROFESSIONALANDTECHNICALCOLLEEZ004极限思想及其计算方法李明鲍勇(淮北矿业集团杨庄矿安徽淮北Z35000)摘要:只要把极限思想与初等数学的计算方法很好地结合起来正确判断极限形式理清思路则极限计算将不再是一件很困难的事情O关键词:极限9极限思想9极限计算方法中图分类号:O171文献标识码:A文章编号:1671-8Z75(Z004)01-0069-03极限概念是高等数学中的一个极其重要的概念它贯例Z穿于高等数学的始终O高等数学中的很多重要概念大都

2、与3I-Z3>1-Z1lim==极限概念有关如导数~积分等都是建立在极限概念基础上I-1I+11+1Z的因此正确理解极限概念合理利用极限思想及其计算3~观察法:适用于X-型方法对于高等数学的系统学习是必要的O1例3limI=0一~极限思想I-+极限概念的形成经历了漫长的岁月O4~化简法:适用于0型等0早在两千多年前我国的惠施就在庄子的天下篇中例4有一句著名的话:一尺之棰日取其半万世不竭惠施的3ZI-1(I-1)(I+I+1)思想提出了无限变小的过程这是我古代极限思想的萌芽Olim=lim=I-1I-1I-1I-1经过数学家们的长期努力直到十九世纪在总结前人ZZl

3、im(I+I+1)=1+1+1=3的极限思想的基础上极限的概念才得到严格的叙述从I-15~变形法:适用于X-型等而创立了微积分这门学科O在微积分中几乎所有的基本概例5念(如连续~导数等)都是用极限定义的O因此很好地理解极限概念是学好微积分的一个关键9同时运用极限思想1-ZZ3I-ZII0-0使人的思维从有限空间向无限空间伸展从静态向动态发lim3=lim==0I-I+1I-11+0展从具体到抽象升华它解决了初等数学不能解决的诸多1+I3难题它也是从初等数学迈入高等数学的一个重要阶梯O6~有界函数与无穷小性质法:适用于有限个无穷小与二~极限的计算方法有界函数的乘积

4、有了极限思想及其概念那么怎样求一个数列或函数例6的极限呢?极限的形式多种多样极限的计算方法也千变SinI1lim=limSinI=0万化但万变不离其宗只要把极限思想与初等数学的计算I-II-I方法很好地结合起来正确判断极限形式理清思路则极7~等价无穷小法:限计算将不再是一件很困难的事情O例7下面笔者根据多年教学经验对于极限的计算方法试1ZI图作一个较全面的粗浅探讨:1-coSIZ1limZ=limZ=I-03II-03I61~定义法:适用于分段函数例18~无穷小与无穷大间的关系法例8-I+ZI1f(I)=求limf(I)II1I-1limZI-3ZI-1I-5I

5、+4解limf(I)=lim(-I+Z)=-1+Z=1--ZZI-1I-1解:limI-5I+41-5>1+4又limf(I)=limI=1==0I-1ZI-3Z>1-3++I-1I-1ZI-3limf(I)=limf(I)=1limZ=I-1-I-1+I-1I-5I+4limf(I)=19~重要极限法I-1Z~代入法:适用于X-X0型分母极限不为零例9收稿日期:Z003-10-18作者简介:李明(1970-)男淮北人淮北矿业集团杨庄矿教师O70淮北职业技术学院学报ZOO4年第1期=========================================

6、========================11lim(1-I)I-I=tlim(1-t)-t=n(~nI-1)=lnIttnn=lnII-O=====t-Oln(1-tln(1-tn)n)1-1-1lim[(1-t)t]=entt-O~I-1)=limlimn(lnI=OOn-Ot-Oln(1-t)1O~洛必达法则适用于型或型OOtlimlnIlim=lnI例1Ot-Ot-Oln(1-t)IO(I)/16~两边夹定理及平均值不等式法limlim=I-Oln(1-I)OI-O[ln(1-I)]/例16=1nlim=lim(1-I)=1lim~nI-O1I-O

7、n-O1-I解当n>1时11~导数公式法nn1<~n=~n~n111<例11~n-~Z个~n-Z个limcOS(1-AI)-cOS1=limAy=f^AI-OAIAI-OAI~n-~n-1-1--1=n(cOSI)/

8、I=1=-Sin11Z~积分公式法Z~n-n-Z

9、1n-111Gn-nn1