极限计算方法总结(简洁版).pdf

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯极限计算方法总结（简洁版）一、极限定义、运算法则和一些结果1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证bn0，当

2、q

3、1时明，例如：lim0(a,b为常数且a0)；lim(3x1)5；limq；nanx2n不存在，当

4、q

5、1时等等（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限

6、严格定义证明。2．极限运算法则定理1已知limf(x)，limg(x)都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有（1）lim[f(x)g(x)]AB（2）limf(x)g(x)ABf(x)A（3）lim,(此时需B0成立)g(x)B说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。3．两个重要极限sinx（1）lim1x0x1x1x（2）lim(1x)e；lim(1)ex0xx说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，作者简介：靳一东，男，（1964—），

7、副教授。1xsin3x2x33例如：lim1，lim(12x)e，lim(1)e；等等。x0x0xx3x4．等价无穷小定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。定理3当x0时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：xx～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1x)～e1。说明：当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时（g(x)0），仍有上面的等价3x22关系成立，例如：当x0时，e1～3x；ln(1x)～x。定理4如果函数f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是xx0时的无

8、穷小，且f(x)～f1(x)，g(x)～1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯f1(x)f(x)f1(x)g1(x)，则当lim存在时，lim也存在且等于f(x)lim，即xx0g1(x)xx0g(x)xx0g1(x)f(x)f1(x)lim=lim。xx0g(x)xx0g(x)15．洛比达法则定理5假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数f(x)和g(x)满足：（1）f(x)和g(x)的极限都是0或都是无穷大；（2）f(x)和g(x)都可导，且g(x)的导数

9、不为0；f(x)（3）lim存在（或是无穷大）；g(x)f(x)f(x)f(x)f(x)则极限lim也一定存在，且等于lim，即lim=lim。g(x)g(x)g(x)g(x)说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比0达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“”型或“”型；条件0（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。6．连续性定理6一切连续函数在其定义去间内的点处都连续

10、，即如果x0是函数f(x)的定义去间内的一点，则有limf(x)f(x0)。xx07．极限存在准则定理7（准则1）单调有界数列必有极限。定理8（准则2）已知{xn},{yn},{zn}为三个数列，且满足：（1）ynxnzn,(n1,2,3,)（2）limyna，limznann则极限limxn一定存在，且极限值也是a，即limxna。nn二、求极限方法举例1．用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限3x12例1limx1x122(3x1)23x33解：原式=limlim。x1x14(x1)(3x12)(x1)(3x12)2⋯

11、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯注：本题也可以用洛比达法则。例2limn(n2n1)n分子分母同除以nn[(n2)(n1)]33解：原式=limlim。nn2n2n12111nnnn(1)3例3limnnn231n上下同除以n()133解：原式lim1。n2n()132．利用函数的连续性（定理6）求极限12x例4limxex212x解：因为x02是函数f(x)xe的一个连续点，122所以原式=2e4e。3．利用两个重要极限求极限1cosx例5limx023x2x2x

12、2sin2sin221解：原式=lim2lim。x03xx0x2612()2注：本题也可以用洛比达法则。2x例6lim(13sinx)x016sinx16sinx3sinxx3sinxx6解：原式=lim(13sinx)lim[(13sinx)]e。x0x0n2n例7lim(