08非线性规划最优性条件(上).pdf

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1、课程说明……4、课程内容线性规划非线性规划动态规划线性规划模型最优性条件动态规划概念一维搜索线性规划解无约束优化离散动态规划单纯形法约束优化动态规划求解对偶问题凸规划灵敏度分析罚函数动态规划应用莫莉1第二章非线性规划(nonlinearprogramming)主讲人：莫莉moli@mail.hust.edu.cn2011年3月莫莉第二章非线性规划第二章非线性规划（NolinearProgramming）MaxzCXAXb请回顾线性规划:,s.t.其目标与约束函数X0均为线性的。线性规划具有相对完美的理论与方法，应用也很

2、广泛，但它终究不能穷尽各种优化问题，因为世界是非线性的。非线性规划（NonlinearProgramming）研究具有非线性构成函数的优化问题，是运筹学中相对活跃的重要研究分支。莫莉3第二章非线性规划第二章非线性规划（NolinearProgramming）2.1最优性条件2.2凸函数与凸规划2.3一维搜索2.4无约束优化问题解法2.5约束优化问题最优性条件2.6罚函数法莫莉4引言……在科学管理和其他领域中，很多实际问题的目标函数和(或)约束条件很难用线性函数表达。如果目标函数或约束条件中含有非线性函数，就称这种问题为非线性规划问题。解这类问题需要用非线性

3、规划方法。目前，非线性规划已成为运筹学一个重要分支，在最优设计、管理科学、系统控制等许多领域得到越来越广泛的应用。一般说来，由于非线性函数的复杂性，解非线性规划问题要比解线性规划问题困难得多。非线性规划目前还没有适于各种问题的一般性算法，各个方法都有自己特定的适用范围。莫莉5一、问题的提出2.1最优性条件一、问题的提出例1某公司经营两种产品，第一种产品每件售价30元，第二种产品每件售价450元。根据统计，售出一件第一种产品所需要的服务时间平均是0.5小时，第二种产品是(2+0.25x)小时，其中x22是第二种产品的售出数量。已知该公司在这段时间内的总服务时

4、间为800小时，试决定使其营业额最大的营业计划。解：设该公司计划经营第一种产品x件，第二种产品x件。根12据题意，其营业额为fX()30x450x12此外，这个问题还应满足xx120,，得到本问题数学模型为：0maxfX30x12450x20.5x2x0.25x800122xx0,012莫莉6一、问题的提出例2某单位拟建一排厂房，x1厂房建筑平面如图所示。由x于资金及材料的限制，围墙2及隔墙的总长度不能超过80maxf(x)xx米。为使建筑面积最大，应122x5x80如何选择长宽尺寸？12x,x012分析：设长

5、为x米，宽为x12米，则有f(x)为非线性函数莫莉7一、问题的提出例3为了进行多属性问题(假设有n个属性)的综合评价，需要确定每个属性的相对重要性，即求它们的权重。为此将各属性的重要性进行两两比较，从而得出如下判断矩阵aa111nJ=aan1nn其中元素a是第i个属性的重要性与第j个属性的重要性之比。ij现需从判断矩阵求出各属性的权重T为了使Www12,,,wn在最小二乘意义上能最好反映判断矩阵的估计由aijww，i/j可得nn2minawijjwiij11nwi1i1莫莉8二、非线性规划模型2.1

6、最优性条件二、非线性规划问题的数学模型非线性规划的数学模型常表示成以下形式min()fX(61)()hX0,=1,2,im(62)i()gX0,j1,2,,…l(63)jTn其中自变量X(,xx12,,…xn)是n维欧氏空间E中的向量；fX()为目标函数，hXi()0和gXj()0为约束条件。莫莉9二、非线性规划模型由于max()minfXfX()当需使目标函数极大化时，只需使其负值极小化即可。因而仅考虑目标函数极小化，这无损于一般性。若某约束条件是“≤”不等式时，仅需用“-1”乘该约束的两端，即可将这个约束变为“≥”的

7、形式。由于等式约束hX()0等价于下述两个不等式约束：ihX()0ihX()0i因而，也可将非线性规划的数学模型写成以下形式min()fX(64)gX()0,j＝1,2,…,l(65)j莫莉10三、非线性规划问题图示2.1最优性条件三、非线性规划问题的图示图示法可以给人以直观概念，当只有两个自变量时，非线性规划问题也可像线性规划那样用图示法来表示(如图6-1所示)。22min()(fX＝x－2)＋(x－2)(66)12()hX＝x＋x－60＝(67)12若令其目标函数fX()＝c(6-8)其中c为某一常数，则(6-8)式代表

8、目标函数值等于c的点的集合，它一般为一