2019-2020年中考数学总复习题型专项九圆的证明与计算试题4

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1、2019-2020年中考数学总复习题型专项九圆的证明与计算试题4圆的有关计算与证明是中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算、证明的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质与判定，利用圆的性质求线段长、角度或阴影部分的面积等，都是考查的重点．类型1　与圆的基本性质有关的计算与证明1．(xx·安徽)在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.(1)如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；(2)如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．解：(1)连接OQ.∵PQ∥AB，OP⊥PQ

2、，∴OP⊥AB.在Rt△OBP中，∵tanB＝，∴OP＝3tan30°＝.在Rt△OPQ中，∵OP＝，OQ＝3，∴PQ＝＝.(2)连接OQ.在Rt△OPQ中，PQ＝＝，当OP的长最小时，PQ的长最大，此时OP⊥BC，则OP＝OB＝，∴PQ长的最大值为＝.2．(xx·玉溪)如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，OF⊥AC于点F.(1)请探索OF和BC的关系并说明理由；(2)若∠D＝30°，BC＝1时，求圆中阴影部分的面积．(结果保留π)解：(1)OF∥BC，OF＝BC.理由：由垂径定理得AF＝CF.∵AO＝BO，∴OF是△ABC的中位线．∴OF∥BC，OF＝BC.(2)连接OC.由(1

3、)知OF＝.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠D＝30°，∴∠A＝30°.∴AB＝2BC＝2.∴AC＝.∴S△AOC＝×AC·OF＝.∵∠AOC＝120°，OA＝1，∴S扇形AOC＝＝.∴S阴影＝S扇形AOC－S△AOC＝－.类型2　与圆的切线有关的计算与证明3．(xx·云南模拟)如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB于点E，∠POC＝∠PCE.(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)若OE∶EA＝1∶2，PA＝6，求⊙O的半径．解：(1)证明：∵CD⊥AB，∴∠CEP＝90°.∴∠PCE＋∠P＝90°.∵∠POC＝∠PCE，∴∠POC＋∠P＝90°，即∠OCP＝

4、90°.∴PC是⊙O的切线．(2)∵∠POC＝∠PCE，∠P＝∠P，∴△CEP∽△OCP.∴＝.设半径为R，则OE＝，EA＝.∴CP2＝OP·EP.∴(R＋6)2－R2＝(6＋R)·(＋6)．解得R＝3(R＝0舍去)．∴⊙O的半径为3.4．(xx·永州)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E是BD中点，连接CE.(1)求证：CE是⊙O的切线；(2)若AC＝4，BC＝2，求BD和CE的长．解：(1)证明：连接OC.∵BD是⊙O的切线，∴∠CBE＝∠A，∠ABD＝90°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠ACO＋∠BCO＝90°，∠BCD

5、＝90°.∵E是BD中点，∴CE＝BD＝BE.∴∠BCE＝∠CBE＝∠A.∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A.∴∠ACO＝∠BCE.∴∠BCE＋∠BCO＝90°，即∠OCE＝90°，CE⊥OC.∴CE是⊙O的切线．(2)∵∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝2.∵tanA＝＝＝＝，∴BD＝AB＝.∴CE＝BD＝.5．(xx·云南模拟)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D在AB延长线上，且∠BCD＝∠A.(1)求证：DC是⊙O的切线；(2)若∠A＝30°，AC＝2，求图中阴影部分的面积．解：(1)证明：连接OC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即∠ACO＋∠BCO＝90°.∵OA＝OC，

6、∴∠A＝∠ACO.∵∠A＝∠BCD，∴∠ACO＝∠BCD.∴∠BCD＋∠BCO＝90°.∴DC是⊙O的切线．(2)过点O作OE⊥AC于点E.∵AC＝2，∴AE＝.∵∠A＝30°，∴OE＝1，AO＝2，∠AOC＝120°.∴S扇AOC＝＝，S△AOC＝×2×1＝.∴S阴影＝－.6．(xx·昆明模拟)如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠DBC＝∠BAC.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为2，∠BAC＝30°，求图中阴影部分的面积(结果保留根号和π)．解：(1)证明：∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°.∴∠BAC＋∠ABD＝90°.∵∠DBC＝∠BAC，∴∠DB

7、C＋∠ABD＝90°.∴AB⊥BC.∵OB为⊙O的半径，∴BC是⊙O切线．(2)连接OD，过O作OM⊥BD于点M.∵∠BAC＝30°，∴∠BOD＝2∠A＝60°.∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形．∴OB＝BD＝OD＝2.∴BM＝DM＝1.由勾股定理得：OM＝.∴S△DOB＝×2×＝.∴阴影部分的面积S＝S扇形DOB－S△DOB＝－＝π－.7．(xx·红河模拟)如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且＝＝，连接