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《中考数学二轮新优化复习 第二部分 专题综合强化 专题7 抛物线背景下的几何探究型(压轴题)针对训练》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二部分 专题七类型1 探究线段数量关系及最值的存在性1．(xx·湘潭改编)如图，点P为抛物线y＝x2上一动点．(1)若抛物线y＝x2是由抛物线y＝(x＋2)2－1通过平移得到的，请写出平移的过程；(2)若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为(0，－1)，过点P作PM⊥l于M.①如图1，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM＝PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．②如图2，若点Q的坐标为(1,5)，求QP＋PF的最小值．第1题图解：(1)∵抛物线y＝(x＋2)2－1的顶点坐标为(－2，－1)，∴抛
2、物线y＝(x＋2)2－1向上平移1个单位，再向右2个单位得到抛物线y＝x2.第1题答图(2)①存在一定点F，使得PM＝PF恒成立．如答图，过点P作PB⊥y轴于点B.设点P的坐标为(a，a2)，∴PM＝PF＝a2＋1.∵PB＝a，∴在Rt△PBF中，BF＝＝＝a2－1，∴OF＝1，∴点F坐标为(0,1)．②由①知PM＝PF,QP＋PF的最小值为QP＋PM的最小值，当Q，P，M三点共线时，QP＋PM有最小值为6.∴QP＋PF的最小值为6.2．(xx·宜宾)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为(2,0)，且经过点(4,1)
3、，如图，直线y＝x与抛物线交于A，B两点，直线l为y＝－1.(1)求抛物线的解析式；(2)在l上是否存在一点P，使PA＋PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第2题图(3)已知F(x0，y0)为平面内一定点，M(m，n)为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．解：(1)∵抛物线的顶点坐标为(2,0)，∴设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2.∵该抛物线经过点(4,1)，∴1＝4a，解得a＝，∴抛物线的解析式为y＝(x－2)2＝x2－x＋1.(2)联立直线AB与抛物线
4、解析式成方程组，得解得∴点A的坐标为(1，)，点B的坐标为(4,1)．如答图，第2题答图作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA＋PB取得最小值．∵点B(4,1)，直线l为y＝－1，∴点B′的坐标为(4，－3)．设直线AB′的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将A(1，)，B′(4，－3)分别代入y＝kx＋b，得解得∴直线AB′的解析式为y＝－x＋.当y＝－1时，有－x＋＝－1，解得x＝，∴点P的坐标为(，－1)．(3)∵点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，∴(m－x0)2＋(n－y0)2＝(n＋
5、1)2，∴m2－2x0m＋x－2y0n＋y＝2n＋1.∵M(m，n)为抛物线上一动点，∴n＝m2－m＋1，∴m2－2x0m＋x－2y0(m2－m＋1)＋y＝2(m2－m＋1)＋1，整理得(1－－y0)m2＋(2－2x0＋2y0)m＋x＋y－2y0－3＝0.∵m为任意值，∴解得∴定点F的坐标为(2,1)．3．(xx·烟台)如图1，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A(－4,0)，B(1,0)两点，过点B的直线y＝kx＋分别与y轴及抛物线交于点C，D.(1)求直线和抛物线的表达式；(2)动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个
6、单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；(3)如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM＋MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．第3题图解：(1)把A(－4,0)，B(1,0)分别代入y＝ax2＋2x＋c，得解得∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－.∵直线y＝kx＋过点B，∴将B(1,0)代入，得k＝－，∴直线的表达式为y＝－
7、x＋.(2)由得交点D的坐标为(－5,4)．如答图1，过D作DE⊥x轴于点E，作DF⊥y轴于点F.当P1D⊥P1C时，△P1DC为直角三角形，则△DEP1∽△P1OC，∴＝，即＝，解得t＝；当P2D⊥DC时，△P2DC为直角三角形，由△P2DB∽△DEB得＝，即＝，解得t＝；当P3C⊥DC时，△DFC∽△COP3，∴＝，即＝，解得t＝.∴当t的值为或或时，△PDC为直角三角形．(3)存在．由已知得直线EF的解析式为y＝－x－.如答图2，在抛物线上取点D的对称点D′，过点D′作D′N⊥EF于点N，交抛物线对称轴于点M，过点N作NH
8、⊥DD′于点H，此时，DM＋MN＝D′N最小．则D′(2,4)，△EOF∽△NHD′.设点N的坐标为(a，－a－)，∴＝，即＝，解得a＝－2，则点N的坐标为(－2，－2)，求得直线ND′的解析式为y＝x＋1.当x＝－时，y＝－，∴点M的坐标为(－，－)，此时，D
