高中数学第三章指数函数对数函数和幂函数3.3幂函数互动课堂学案

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1、3.3幂函数互动课堂疏导引导1.定义形如y=xα的函数叫做幂函数，其中α是常数，x是自变量.2.幂函数的性质当n＞0时，幂函数y＝xn有下列性质：(1)图象都通过点（0，0）、（1，1）；(2）在第一象限内，函数值随x的增大而增大;n＜0时，幂函数y＝xn有下列性质：(1）图象都通过点（1，1）；(2）在第一象限内，函数值随着x的增大而减小；(3）在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近．疑难疏引1.幂函数的定义一般地，我们把形如y=xα的函数称为幂函数，其中，

2、x是自变量，α是常数.在这里我们只讨论α为有理数时的简单的幂函数.虽然y=x、y=x2是幂函数，但并不是所有的一次函数、二次函数都是幂函数，如：y=x+1、y=2x2+1都不是幂函数，它们并不满足幂函数的定义，但它们是与幂函数相关联的函数，它们是由幂函数与常数经过算术运算得到的.幂函数的定义域和值域是由它的幂指数来确定的，幂指数不同，定义域和值域也不同.掌握幂函数的关键一定要明确“形如y=xα的函数”这句话的重要作用.幂函数的定义域比较复杂，应分类进行掌握：（1）当指数n是正整数时，定义域是R.

3、（2）当指数n是正分数时，设n=（p、q是互质的正整数，q＞1），则xn=x=.如果q是奇数，定义域是R；如果q是偶数，定义域是［0，＋∞）.（3）当指数n是负整数时，设n＝－k，xn=，显然x不能为零，所以定义域是{x

4、x∈R且x≠0}.（4）当指数n是负分数时，设n=－（p、q是互质的正整数，q＞1），则xn==.4如果q是奇数，定义域是{x

5、x∈R且x≠0}；如果q是偶数，定义域是（0，＋∞）.2.幂函数的图象与性质研究幂函数的图象与性质可通过对典型的幂函数y=x2、y=x3及y=x的

6、图象研究归纳y=xn（n＞0）的图象特征和函数性质，通过对幂函数y=x－2、y=x－3及y=x-的图象研究归纳y=xn（n＜0）的图象特征和函数性质.需要注意的有：（1）研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整数指数幂化为分式形式再去进行讨论.（2）对于幂函数y=xn（n＞0），我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即n＜0，0＜n＜1和n＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意n＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图

7、象的大致情况可以用口诀来记忆“正抛物负双曲，大竖直小横铺”，即n＞0（n≠1）时图象是抛物线型；n＜0时图象是双曲线型；n＞1时图象是竖直抛物线型；0＜n＜1时图象是横卧抛物线型.●案例比较下列各组数的大小：（1）a=4.2，b=4.1;（2）a=1.3-1,b=1.4-1,c=1.4-2;（3）a=0.13,b=log30.1,c=30.1.【探究】比较大小，通常利用函数的单调性，或找中间量.因此解决这类问题时往往找对应的函数或找对应的中间量.（1）考查幂函数y=x是单调递增函数,∴4.2

8、>4.1.（2）考查幂函数y=x-1在(0,+∞)上递减，1.3-1>1.4-1；考察指数函数y=1.4x为递增函数，则1.4-1>1.4-2；综上1.3-1>1.4-1>1.4-2.（3）0<0.13<1；log30.1<0；30.1>1.综上，log30.1<0.13<30.1.【溯源】若同指数，则用幂函数的单调性；若同底数，则用指数函数的单调性；若不能化为同指数或同底数，则需要找一个恰当的数作桥梁来比较大小.活学巧用1.下列命题中正确的是(　　)A.当α=0时，函数y=xα的图象是

9、一条直线B.幂函数的图象都经过(0，0)，(1，1)两点C.若幂函数y=xα的图象关于原点对称，则y=xα在定义域内y随x的增大而增大4D.幂函数的图象不可能在第四象限【思路解析】当α=0时，函数y=xα定义域为{x

10、x≠0,x∈R}，其图象为两条射线，故A不正确；当α<0时，函数y=xα的图象不过（0，0）点，故B不正确；幂函数y=x-1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故C不正确；幂函数的图象都不在第四象限，故D正确.【答案】D2.求下列函数的定义域，判别奇偶性，指出单

11、调区间：（1）y=x;（2）y=x.【解】(1)函数y=x可化为y=，定义域为{x

12、x≠0,x∈R}，因为f(-x)=-f(x),所以y=x是奇函数.单调减区间为(-∞,0),(0,+∞).(2)函数y=x可化为y=，定义域为{x

13、x≥0}，是一个非奇非偶函数.单调增区间为［0,+∞).3.比较下列各组数的大小：（1）(-1.1),(-1.2)；（2）(-π),(2)；（3）0.3,0.4,2,(-0.1).【解】（1）(-