课标通用高考数学一轮复习第四章与4.7正弦定理和余弦定理学案理

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1、§4.7　正弦定理和余弦定理考纲展示►　1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题．考点1　利用正、余弦定理解三角形　　　　　　　　　　　　　　　　正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式＝________＝________＝2Ra2＝____________；b2＝____________；c2＝____________续表定理正弦定理余弦定理常见变形(1)a＝2RsinA，b＝_________

2、___，c＝____________；(2)sinA＝，sinB＝________，sinC＝；(3)a∶b∶c＝________；(4)asinB＝bsinA①，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝__________；cosB＝__________；cosC＝__________答案：　　b2＋c2－2bccosA　c2＋a2－2cacosB　a2＋b2－2abcosC　2RsinB　2RsinC　　-15-sinA∶sinB∶sinC　　(1)[教材习题改编]在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则∠A＋∠C＝(　　)A．90°B．120°C

3、．135°D．150°答案：B(2)[教材习题改编]在△ABC中，已知∠A＝60°，∠B＝75°，c＝20，则a＝________.答案：10解三角形的一般类型：已知两边及一角；已知两角及一边；已知三边．(1)在△ABC中，已知a＝5，b＝2，C＝30°，则c＝________.答案：解析：由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝52＋(2)2－2×5×2cos30°＝7，所以c＝.(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝，sinA＝，b＝，则a＝________.答案：解析：由正弦定理＝，得a＝＝.(3)在△ABC中，已知a∶b∶c＝2∶

4、4∶3，则cosC＝________.答案：解析：设a＝2k，b＝4k，c＝3k(k>0)，则cosC＝＝.-15-[典题1]　[2017·山师大附中一模]设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝acosB.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．[解]　(1)∵bsinA＝acosB，由正弦定理得sinBsinA＝sinAcosB.在△ABC中，sinA≠0，即得tanB＝，∴B＝.(2)∵sinC＝2sinA，由正弦定理得c＝2a，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，即9＝a2＋4a2－2a·2acos，

5、解得a＝，∴c＝2a＝2.[点石成金]　1.解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．2．三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝.(1)求a，c的值；(2)求sin(A－B)的值．解：(1)由余弦定理，得cosB＝＝＝，即a2＋c2－4

6、＝ac.∴(a＋c)2－2ac－4＝ac，∴ac＝9.-15-由得a＝c＝3.(2)在△ABC中，cosB＝，∴sinB＝＝＝.由正弦定理，得＝，∴sinA＝＝＝.又A＝C，∴0＜A＜，∴cosA＝＝，∴sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝×－×＝.考点2　利用正弦、余弦定理判定三角形的形状　　　　　　　　　　　　　　　　三角形中的角的关系判断误区：角的大小比较的误区；角的个数的误区．(1)在△ABC中，若sinA>sinB，则A与B的大小关系是________．答案：A>B解析：由正弦定理，得sinA＝，sinB＝.若sinA>sinB，则>，即a>b

7、，故A>B.(2)在△ABC中，若A＝60°，a＝4，b＝4，则B等于________．答案：45°解析：由正弦定理，有＝，则sinB＝＝＝.又a>b，所以A>B，故B＝45°.注意挖掘题中隐含条件，以便确定满足条件的角的情况．-15-判断三角形的形状．利用正、余弦定理判断三角形的形状，一般都可以通过两种途径实现：(1)把角的条件转化为边，通过边的关系判断；(2)把边的条件转化为角，通过计算角的大小进行判断．[典题2]　(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABC是(