复数域内的函数幂级数展开及其应用文献综述

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1、文献综述复数域内的函数幂级数展开及其应用一、前言部分早在14世纪，印度数学家马德哈瓦提出了有关函数展开成无穷级数的概念。众多数学家，如格高利，泰勒、欧拉、高斯等均对级数理论做了重要贡献。级数理论一经产生就不断在函数逼近论、微分方程、复变函数等理论中显现了突出的应用价值。自18世纪初至19世纪末，幂级数展开问题成为中国数学的一个非常活跃的研究领域。的无穷级数表达式，即圆径求周公式，是牛顿(IsaacNewton，1642-1727)1667年发现的。正弦和正矢的幂级数展开式，即弧背求正弦和弧背求正矢公式是

2、英国数学家格雷戈里(J．Gregory，1638-1675)发现的。法国传教士杜德美(P．Jartoux，1668-1720)1701年来华，把这三个公式介绍给中国学者。著名数学家梅文鼎之孙梅珏成(1681-1763)将其收入《梅氏丛书辑要》的附录《赤水遗珍》，并分别称为“求周径密率捷法”和“求弦矢捷法”，这三个公式也被称为杜氏三术[1]。其后明安图(1692-1764)经过30余年的不懈努力，他融会贯通了中国传统数学知识与刚刚传入的西方数学知识，圆满地证明了前三个公式，同时还得到另外六个公式，即为《割

3、圆密率捷法》中的九个公式：“圆径求周、弧背求正弦、弧背求正矢、弧背求通弦、弧背求矢、通弦求弧背、正弦求弧背、正矢求弧背、矢求弧背”。由陈际新于1744年整理成书并于1839年出版。牛顿在1666年通过无穷级数逐项积分的方法推导出的幂级数展开式，而在1669年又用级数回求法给出这一公式。日本数学家建部贤弘(KatahiroTakebe)，在1722年采用与明安图不同的分析方法得到了同一公式。1737年，欧拉(L．Euler，1707-1783)在给伯努利(J．Bernoulli，1667-1748)的一封

4、信中提出关于反正矢平方的幂级数展开式，但直到1817年这一公式才公开发表。1819年春，董祜诚在北京朱鸿处见到明安图的《割圆密率捷法》第一卷抄本以后，“反复寻绎，究其立法之原”。不仅为幂级数展开式的研究提供了有利的工具，同时也将中国传统数学的垛积术研究推进了一大步。董祜诚的幂级数研究工作直接影响到项名达。项名达在京期间见到明安图的《割圆密率捷法》和董祜诚的《割圆连比例图解》后，便开始研究弦矢问题，并创立了下列两个公式，“知本度通弦求他度通弦”和“知本度矢求他度矢”：10其中为圆半径，分别为圆内某弧的倍、

5、倍弧长，分别为相应的中矢。由这两个公式可推导出明安图的九个公式和董祜诚的四个公式，其中包括正弦和反正弦的幂级数展开式，正矢和反正矢的幂级数展开式以及圆周率的无穷级数表达式等[1]。中国传统数学虽未进入微积分的全面发展时代，但对幂级数的理论研究也是独树一帜，硕果累累的。这些数学思想对今日的数学创造仍有着启发意义。19世纪，复变函数的理论经过法国数学家柯西（Cauchy）、德国数学家黎曼（Riemann）和魏尔斯特拉斯（Weierstrass）的巨大努力，形成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到代数学、解析数

6、论、微分方程、概论统计、计算数学和拓扑学等数学分支；同时，它在热力学、流体力学和电学等方面也有很多的应用。20世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其他分支的联系也日益密切。致使经典的复变函数理论，如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题等有了新的发展和应用。并且，还开辟了一些新的分支，如复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论、多复变函数论、广义解析函数论和拟共形映射等。另外，在种种抽象空间的理论中，复变函数还常常为我们提供新思想的模型。在数学中，幂级数是一类

7、形式简单而应用广泛的函数级数，幂级数在理论上和实际中都有非常广泛的应用，它结构简单，通过幂级数的展开式可以表示函数，利用幂级数和函数的分析性质，常常能够解决数学分析中很多疑难问题。同高等数学中的实变函数项级数一样，复变函数项级数也是表示函数与研究函数的有力工具。复变函数论主要的研究对象是解析函数。从级数作为研究函数的工具这个意义上讲，在各种有力的解析工具中按其简单、灵活、明确以及使用的方便而言，毫无疑问第一位应属于函数级数，幂级数和解析函数存在着密切的联系。本文基于复变函数中幂级数的一些基本知识，参考国

8、内外相关文献，就复变函数和幂级数的历史背景，幂级数的概念、性质及其敛散性的判定及函数的幂级数展开等相关基础理论和在解决一些问题方面的应用进行综述。二、主题部分10函数幂级数的展开式一直是数学分析中的一个重点，幂级数的定义[2]：由幂级数列所产生的函数项级数，它称为幂级数，是一类最简单的函数项级数，从某种意义上说，它也可以看作是多项式函数的延伸。幂级数在理论上和实际上都有很多应用，特别在应用它表示函数方面，使我们对它的作用有许多新的认识。文献