【数学与应用数学专业】【毕业论文】复数域内的函数幂级数展开及其应用

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1、（20__届）本科毕业论文复数域内的函数幂级数展开及其应用摘要：复数域内的函数幂级数展开是表示函数与研究函数的有力工具。本文首先介绍复数项幂级数的概念、基本性质和重要定理；其次，归纳将解析函数展开为幂级数的几种常用方法，包括代换法、幂级数乘法、待定系数法等；最后，通过实例分析来熟悉函数幂级数展开在实际问题中的具体应用。关键词：解析函数；幂级数；直接展开；间接展开PowerSeriesExpansionofFunctionwithinAComplexFieldandItsApplicationAbstract：Powerseriesexpansi

2、onoffunctioninthecomplexfieldisapowerfultoolforrepresentingthefunctionandresearchingfunction.Firstly,concepts,basicpropertiesandimportanttheoremswereintroducedinthispaper.Secondly,severalcommonmethodsthatmadeanalyticfunctionsexpandedintopowerserieswereintroducedinthepaper,in

3、cludingsubstitutionmethod,thepowerseriesmultiplication,undeterminedcoefficientmethodandsoon.Finally,theapplicationofpowerseriesexpansionwasanalysedwithexamples.Keywords：AnalyticFunction,PowerSeries,ImmediateExpansion,IndirectExpansion目录1引言12复数项幂级数32.1幂级数32.1.1幂级数概念32.1.2幂级数的

4、敛散性与收敛半径32.1.3幂级数的运算性质52.2解析函数的泰勒级数62.3解析函数的洛朗级数73解析函数的幂级数表示法83.1直接展开法83.2间接展开法93.3实例分析114结束语185致谢196参考文献201引言在数学中，幂级数是一类形式简单而应用广泛的函数级数，它结构简单，通过幂级数的展开式可以表示函数，利用幂级数和函数的分析性质，常常能够解决数学分析中很多疑难问题。同高等数学中的实变函数项级数一样，复变函数项级数也是表示函数与研究函数的有力工具，而幂级数简单的结构形式和良好的性质也使之成为一种有效的计算工具。早在14世纪，印度数学家

5、马德哈瓦提出了有关函数展开成无穷级数的概念。众多数学家，如格高利，泰勒、欧拉、高斯等均对级数理论做了重要贡献。自17世纪初至19世纪末，幂级数展开问题成为一个非常活跃的研究领域。1667年，牛顿(IsaacNewton，1642-1727)发现了的无穷级数表达式，即圆径求周公式。英国数学家格雷戈里(J．Gregory，1638-1675)发现了正弦和正矢的幂级数展开式。1701年，法国传教士杜德美(P．Jartoux，1668-1720)来华，把这三个公式介绍给了中国学者。著名数学家梅文鼎之孙梅珏成(1681-1763)将其收入《梅氏丛书辑要》

6、的附录《赤水遗珍》，并分别称为“求周径密率捷法”和“求弦矢捷法”。其后明安图(1692-1764)经过30余年的不懈努力，圆满地证明了前三个公式，同时还得到另外六个公式.牛顿在1666年通过无穷级数逐项积分的方法，推导出的幂级数展开式，而在1669年又用级数回求法给出这一公式。日本数学家建部贤弘(KatahiroTakebe)，在1722年采用与明安图不同的分析方法得到了同一公式。1737年，欧拉(L．Euler，1707-1783)在给伯努利(J．Bernoulli，1667-1748)的一封信中提出关于反正矢平方的幂级数展开式。1819年春

7、，董祜诚在北京朱鸿处见到明安图的《割圆密率捷法》第一卷抄本以后，“反复寻绎，究其立法之原”。不仅为幂级数展开式的研究提供了有利的工具，同时也将中国传统数学的垛积术研究推进了一大步[1]。函数幂级数的展开式一直是数学分析中的一个重点，函数幂级数展开的研究之所以如此重要，是因为它在理论上和实际中都有非常广泛的应用，巧妙地利用函数幂级数展开式及幂级数的性质能够把一个复杂的性质以及一些不容易把握的函数表达成形式最简单、性质最好的级数形式，所以用它解题往往思路清晰、条理清楚，达到良好的解题效果。许多专家学者都对函数幂级数展开的实际应用做了研究。利用幂级数

8、的重要性质，我们可以发现函数幂级数展开在许多方面都有重要的应用，尤其在近似计算中，例如的值，通过其幂级数展开式，即，无论为何值都可以求出的近似值。另外