复数域内的函数幂级数展开及其应用　 　开题报告

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1、开题报告复数域内的函数幂级数展开及其应用　　一、选题的背景、意义函数幂级数的展开一直是分析学研究的一个重点，早在14世纪，印度数学家马德哈瓦提出了有关函数展开成无穷级数的概念。众多数学家，如格高利，泰勒、欧拉、高斯等均对级数理论做了重要贡献。自17世纪初至19世纪末，幂级数展开问题成为一个非常活跃的研究领域。1667年，牛顿(IsaacNewton，1642-1727)发现了的无穷级数表达式，即圆径求周公式。英国数学家格雷戈里(J．Gregory，1638-1675)发现了正弦和正矢的幂级数展开式。1701年，法国传教士杜德美(P．Jartoux，1

2、668-1720)来华，把这三个公式介绍给了中国学者。著名数学家梅文鼎之孙梅珏成(1681-1763)将其收入《梅氏丛书辑要》的附录《赤水遗珍》，并分别称为“求周径密率捷法”和“求弦矢捷法”。其后明安图(1692-1764)经过30余年的不懈努力，圆满地证明了前三个公式，同时还得到另外六个公式.牛顿在1666年通过无穷级数逐项积分的方法，推导出的幂级数展开式，而在1669年又用级数回求法给出这一公式。日本数学家建部贤弘(KatahiroTakebe)，在1722年采用与明安图不同的分析方法得到了同一公式。1737年，欧拉(L．Euler，1707-1

3、783)在给伯努利(J．Bernoulli，1667-1748)的一封信中提出关于反正矢平方的幂级数展开式。1819年春，董祜诚在北京朱鸿处见到明安图的《割圆密率捷法》第一卷抄本以后，“反复寻绎，究其立法之原”。不仅为幂级数展开式的研究提供了有利的工具，同时也将中国传统数学的垛积术研究推进了一大步[1]。在数学中，同高等数学中的实变函数项级数一样，复变函数项级数也是表示函数与研究函数的有力工具。从级数作为研究函数的工具这个意义上讲，在各种有力的解析工具中按其简单、灵活、明确以及使用的方便而言，毫无疑问第一位应属于函数级数。函数幂级数展开的研究之所以如

4、此至关重要，是因为它在理论上和实际中都有非常广泛的应用，它结构简单，通过幂级数的展开式可以表示函数，利用幂级数和函数的分析性质，常常能够解决数学分析中很多疑难问题，尤其在近似计算中起着非常重要的作用。例如的值，小数点后的数我们不可能全部记下，而通过其幂级数展开式，即，将代入，即可得到的值，无论小数点后多少位。复变函数中，我们对解析函数常常要通过将其展成幂级数来研究，因此复数域内的函数幂级数展开是复变函数论研究的重要课题。函数幂级数的展开式一直是数学分析中的一个重点，幂级数的定义[2]：由幂级数列所产生的函数项级数，它称为幂级数，是一类最简单的函数项级

5、数，从某种意义上说，它也可以看作是多项式函数的延伸。幂级数在理论上和实际上都有很多应用，特别在应用它表示函数方面，使我们对它的作用有许多新的认识。函数展开为幂级数方法一般有两种：一是直接展开法，根据泰勒定理[3-11]：设在区域内解析，，只要圆含于，则在内能展成幂级数，　(4)其中系数.(5)且展式是唯一的。二是间接展开法。用直接展开法将函数展开成幂级数，工作量大，有时甚至是比较困难的，为了避免对余项的讨论，经常使用间接接展开法，巧妙地利用已知函数的展开式和幂级数的性质，常能化难为易，简化计算，收到事半功倍的效果。间接法中包括待定系数法，利用级数的乘

6、、除运算，微分方程法，部分分式与几何级数结合法，代换法等几种方法，这里不一一列举了。而且展开一个函数并不是只能用一种方法，有时，一个函数既可分别用多种方法展开，也可多种方法并用展开。巧妙地利用函数幂级数展开式及幂级数的性质能够把一个复杂的性质以及一些不容易把握的函数表达成形式最简单、性质最好的级数形式，所以用它解题往往思路清晰、条理清楚，达到良好的解题效果。许多专家学者都对函数幂级数展开的实际应用做了研究。利用幂级数的重要性质，我们可以发现函数幂级数展开在许多方面都有重要的应用：一、幂级数在近似计算中的应用：可用的幂级数展开式取近似计算，也可用的幂级

7、数展开式取近似计算；二、幂级数在计算积分中的应用：当的原函数不能用初等函数的有限形式表示出来时，计算的定积分就遇到了困难。我们可以利用幂级数展开式取有限项的办法近似计算这些定积分的值；三、幂级数在求极限中的应用：求函数极限的方法很多，幂级数法也是其中之一；四、另外，函数幂级数展开还可以应用到数项级数求和、推导欧拉公式、求导数、组合概率计算等等。幂级数的应用十分广泛，幂级数简单的结构形式和良好的性质使之成为一种有效的计算工具，也是是表示函数与研究函数的有力工具。用它解题往往思路清晰、条理清楚，随着人们更深入的研究，一定能有效地推动数学领域的发展，其在各

8、方面的应用也将更加广阔。因此，也有待我们这些后人更深入的研究，进一步扩大它的应用范围。本课题的研究，笔者希望