2017_18学年高中数学第二章参数方程本讲知识归纳与达标验收教学案

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1、第二章参数方程　　　　　　　　　　　　考情分析通过对近几年新课标区高考试题的分析可见，高考对本讲知识的考查，主要是以参数方程为工具，考查直线与圆或与圆锥曲线的有关的问题．真题体验1．(湖南高考)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________．解析：由题意知在直角坐标系下，直线l的方程为y＝x－a，椭圆的方程为＋＝1，所以其右顶点为(3,0)．由题意知0＝3－a，解得a＝3.答案：32．(陕西高考)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为________．解析：由三角函数定

2、义知＝tanθ(x≠0)，y＝xtanθ，由x2＋y2－x＝0得，x2＋x2tan2θ－x＝0，x＝＝cos2θ，则y＝xtanθ＝cos2θtanθ＝sinθcosθ，又θ＝时，x＝0，y＝0也适合题意，故参数方程为(θ为参数)．答案：(θ为参数)3．(新课标全国卷Ⅱ)已知动点P，Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．(1)求M的轨迹的参数方程；10(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．解：(1)依题意有P(2cosα，2sinα)，Q(2cos2α，2sin2α)，因此M(c

3、osα＋cos2α，sinα＋sin2α)．M的轨迹的参数方程为(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M点到坐标原点的距离d＝＝(0＜α＜2π)．当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．　　　　　　　　　　　　曲线的参数方程与普通方程的互化1.消参的常用方法(1)代入消参法，是指由曲线的参数方程中的某一个(或两个)得到用x(或y，或x，y)表示参数的式子，把其代入参数方程中达到消参的目的．(2)整体消参法，是指通过恰当的变形把两式平方相加(或相减、相乘、相除)达到消参的目的，此时常用到一些桓等式，如sin2θ＋cos2θ＝1，sec2θ＝tan2θ＋1，2－2＝4等．2．

4、消参的注意事项(1)消参时，要特别注意参数的取值对变量x，y的影响，否则易扩大变量的取值范围．(2)参数方程中变量x，y就是参数的函数，可用求值域的方法确定变量x，y的取值范围．[例1]　参数方程表示的曲线是什么？[解]　化为普通方程是：x2＋y2＝25，∵－≤θ≤，∴0≤x≤5，－5≤y≤5.∴表示以(0,0)为圆心，5为半径的右半圆．10[例2]　将参数方程(t为参数)化为普通方程．[解]　由x＝t＋1得t＝(x－1)，代入y＝t2－1，得y＝(x－1)2－1，即为所求普通方程.直线的参数方程及其应用1．直线参数方程的标准形式直线参数方程的一般形式为(t为参数)，只

5、有当b≥0，a2＋b2＝1时，上述方程组才为直线的参数方程的标准形式，直线经过的起点坐标为M0(x0，y0)，直线上另外两点M1(x1，y1)，M2(x2，y2)对应的参数分别为t1，t2，这时就有

6、M0M1

7、＝

8、t1

9、，

10、M0M2

11、＝

12、t2

13、，

14、M1M2

15、＝

16、t1－t2

17、.2．直线参数方程的应用直线的参数方程应用十分广泛，特别在计算与圆锥曲线的相交弦的弦长时，可以利用参数的几何意义和弦长公式求解，这样可以避免因运用直线和圆锥曲线的方程所组成的方程组求解导致的烦琐运算，从而简化解题过程，优化解题思路．3．应用直线的参数方程求弦长的注意事项(1)直线的参数方程应为标准形式

18、．(2)要注意直线倾斜角的取值范围．(3)设直线上两点对应的参数分别为t1，t2.(4)套公式

19、t1－t2

20、求弦长．[例3]　已知点P(3,2)平分抛物线y2＝4x的一条弦AB，求弦AB的长．[解]　设弦AB所在的直线方程为(t为参数)，代入方程y2＝4x整理得：t2sin2α＋4(sinα－cosα)t－8＝0.①因为点P(3,2)是弦AB的中点，由参数t的几何意义可知，方程①的两个实根t1，t2满足关系t1＋t2＝0.即sinα－cosα＝0.因为0≤α＜π，所以α＝.∴

21、AB

22、＝

23、t1－t2

24、＝10＝＝8.曲线的参数方程及其应用圆心为(a，b)，半径为r的圆(x－

25、a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为(θ为参数)；长半轴为a，短半轴为b，中心在原点的椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程为(θ为参数)，圆、椭圆的参数方程在计算最大值、最小值和取值范围等问题中有着广泛的应用，利用圆、椭圆的参数方程将上述问题转化为三角函数的最值问题，利用三角函数的变换公式可以简化计算，从而避免了繁杂的代数运算．[例4]　(新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求

26、PA

27、的最大值与最小值．[解]