2017_18学年高中数学第一章坐标系本讲知识归纳与达标验收教学案

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1、第一章坐标系　　　　　　　　　　　　考情分析通过对近几年新课标区高考试题的分析可知，高考对本讲的考查集在考查极坐标方程、极坐标与直角坐标的互化等．预计今后的高考中，仍以考查圆、直线的极坐标方程为主．真题体验1．(安徽高考)在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为(　　)A．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝2B．θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝2C．θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝1D．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝1解析：由题意可知，圆ρ＝2cosθ可化为普通方程为(x－1)2＋y2＝1.所以圆的垂直于x轴的两

2、条切线方程分别为x＝0和x＝2，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝2，故选B.答案：B2．(安徽高考)在极坐标系中，圆ρ＝4sinθ的圆心到直线θ＝(ρ∈R)的距离是________．解析：将ρ＝4sinθ化成直角坐标方程为x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，圆心为(0,2)．将θ＝(ρ∈R)化成直角坐标方程为x－y＝0，由点到直线的距离公式可知圆心到直线的距离d＝＝.答案：3．(江西高考)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为11x轴正半轴建立直角坐标系，则

3、该曲线的直角坐标方程为________．解析：∵ρ＝2sinθ＋4cosθ，∴ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ，∴x2＋y2＝2y＋4x，即x2＋y2－4x－2y＝0.答案：x2＋y2－4x－2y＝0.　　　　　　　　　　　　用解析法解决几何问题利用问题的几何特征，建立适当坐标系，主要就是兼顾到它们的对称性，尽量使图形的对称轴(对称中心)正好是坐标系中的x轴，y轴(坐标原点)．坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单．[例1]　已知正三角形ABC的边长为a，在平面上求一点P，使

4、PA

5、2＋

6、PB

7、2＋

8、PC

9、2最小，并求

10、出此最小值．[解]　以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图，则A，B，C.设P(x，y)，则

11、PA

12、2＋

13、PB

14、2＋

15、PC

16、2＝x2＋2＋2＋y2＋2＋y2＝3x2＋3y2－ay＋＝3x2＋32＋a2≥a2，当且仅当x＝0，y＝a时，等号成立．∴所求的最小值为a2，此时P点的坐标为P，即为正三角形ABC的中心.11平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．[例2]　在同

17、一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，求曲线C的方程，并判断其形状．[解]　将代入(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1中，得(2x－5)2＋(2y＋6)2＝1.化简，得(x－)2＋(y＋3)2＝.该曲线是以(，－3)为圆心，半径为的圆.极坐标方程在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(ρ，θ)＝0如果曲线C是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程F(ρ，θ)＝0为曲线C的极坐标方程．由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有

18、不同之处，一条曲线上的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程．求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，在极坐标中仍然适用，注意求谁设谁，找出所设点的坐标ρ，θ的关系．[例3]　△ABC底边BC＝10，∠A＝∠B，以B为极点，BC为极轴，建立极坐标系，求顶点A的轨迹的极坐标方程．[解]　如图：令A(ρ，θ)，△ABC内，设∠B＝θ，∠A＝，又

19、BC

20、＝10，

21、AB

22、＝ρ.由正弦定理，得＝，化简，得A点轨迹的极坐标方程为ρ＝10＋20cosθ.11极坐标与直角坐标的互化互化

23、的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位长度．互化公式为直角坐标方程化极坐标方程可直接将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为ρcosθ，ρsinθ的整体形式，然后用x，y代替较为方便，常常两端同乘以ρ即可达到目的，但要注意变形的等价性．[例4]　(天津高考)在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sinθ和直线ρsinθ＝a相交于A，B两点．若△AOB是等边三角形，则a的值为________．[解析]　由于圆和直线的直角坐标方程分别为

24、x2＋y2＝4y和y＝a，它们相交于A，B两点，△AOB为等边三角形，所以不妨取直线OB的方程为y＝x，联立消去y，得x2＝x，解得x＝或x＝0，所以y＝x＝3，即a＝3.[答案]　3[例5]　在极坐标系中，点M坐标是(2，)，曲线C的方程为ρ＝2sin(θ＋);以极点为坐标