2018_2019学年高中数学第一讲坐标系本讲知识归纳与达标验收讲义（含解析）新人教a版

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1、第一讲坐标系考情分析通过对近几年新课标区高考试题的分析可知，高考对本讲的考查集在考查极坐标方程、极坐标与直角坐标的互化等．预计今后的高考中，仍以考查圆、直线的极坐标方程为主．真题体验1．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足

2、OM

3、·

4、OP

5、＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．解：(1)设P的极坐标为(ρ，θ)

6、(ρ＞0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)．由题设知

7、OP

8、＝ρ，

9、OM

10、＝ρ1＝.由

11、OM

12、·

13、OP

14、＝16，得C2的极坐标方程ρ＝4cosθ(ρ＞0)．因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB＞0)，由题设知

15、OA

16、＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB的面积S＝

17、OA

18、·ρB·sin∠AOB＝4cosα·＝2≤2＋.当α＝－时，S取得最大值2＋.所以△OAB面积的最大值为2＋.2．(2016·全国卷Ⅱ节选)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2

19、＝25.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程．解：把圆的方程化为x2＋y2＋12x＋11＝0的形式，把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.3．(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．解：(1)因为x＝ρcosθ

20、，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.(2)将θ＝代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.故ρ1－ρ2＝，即

21、MN

22、＝.由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.用解析法解决几何问题利用问题的几何特征，建立适当坐标系，主要就是兼顾到它们的对称性，尽量使图形的对称轴(对称中心)正好是坐标系中的x轴、y轴(坐标原点)．坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单．[例1]　已知正三角形ABC的边长

23、为a，在平面上求一点P，使

24、PA

25、2＋

26、PB

27、2＋

28、PC

29、2最小，并求出此最小值．[解]　以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A，B，C.设P(x，y)，则

30、PA

31、2＋

32、PB

33、2＋

34、PC

35、2＝x2＋2＋2＋y2＋2＋y2＝3x2＋3y2－ay＋＝3x2＋32＋a2≥a2，当且仅当x＝0，y＝a时，等号成立．∴所求的最小值为a2，此时P点的坐标为P，即为正三角形ABC的中心.平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应点

36、P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．[例2]　在平面直角坐标系中，求曲线x2＋y2＝1先后经过两次变换和后得到的曲线方程．[解]　设经过变换后得到曲线C1，把代入x2＋y2＝1得x′2＋4y′2＝1，即C1：x2＋4y2＝1.又设曲线C1经过变换后得到曲线C2，把代入x2＋4y2＝1得＋4y′2＝1，即＋＝1为所求的曲线方程.极坐标方程在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(ρ，θ)＝0.如果曲线C是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程F(ρ，θ)＝0为曲线C的极坐标方程．由于

37、平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程．求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，在极坐标中仍然适用，注意求谁设谁，找出所设点的坐标ρ，θ的关系．[例3]　在平面直角坐标系中，已知点A(3,0)，P是圆x2＋y2＝1上的一个动点，且∠AOP的平分线交PA于点Q，求点Q的轨迹的极坐标方程．[解]　以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设P(1,2θ)，Q(ρ，θ)，则由S△

38、OQA＋S△OQP＝S△OAP，得·3ρsinθ＋ρsinθ＝×3×1×sin2θ，化简得ρ＝cosθ.所以点Q的轨迹的极坐标方程为ρ＝cosθ.极坐标与直角坐标的互化互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位长度．互化公式为直角坐标方程化