2018_2019学年高中数学第二讲参数方程本讲知识归纳与达标验收讲义（含解析）新人教a版

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1、第二讲参数方程考情分析通过对近几年高考试题的分析可见，高考对本讲知识的考查，主要是以参数方程为工具，考查直线与圆或与圆锥曲线的有关的问题．真题体验1．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ＋sinθ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．解：(1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)

2、；消去参数m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．设P(x，y)，由题设得消去k得x2－y2＝4(y≠0)．所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．联立得cosθ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ)．故tanθ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝.代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M的极径为.2．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数)．设P

3、为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．解：直线l的普通方程为x－2y＋8＝0.因为点P在曲线C上，设P(2s2,2s)，从而点P到直线l的距离d＝＝.当s＝时，dmin＝.因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上点P到直线l的距离取到最小值.3．(2016·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(θ为参数)．设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．解：椭圆C的普通方程为x2＋＝1.将直线l的参数方程代入x2＋＝1，得2＋＝1，即7t2＋16t＝0，解得

4、t1＝0，t2＝－.所以AB＝

5、t1－t2

6、＝.曲线的参数方程与普通方程的互化1.消参的常用方法(1)代入消参法，是指由曲线的参数方程中的某一个(或两个)得到用x(或y，或x，y)表示参数的式子，把其代入参数方程中达到消参的目的．(2)整体消参法，是指通过恰当的变形把两式平方相加(或相减、相乘、相除)达到消参的目的，此时常用到一些桓等式，如sin2θ＋cos2θ＝1，sec2θ＝tan2θ＋1，2－2＝4等．2．消参的注意事项(1)消参时，要特别注意参数的取值对变量x，y的影响，否则易扩大变量的取值范围．(2)参数方程中变

7、量x，y就是参数的函数，可用求值域的方法确定变量x，y的取值范围．[例1]　直线(t为参数)与圆(φ为参数)相切，则直线的倾斜角α等于(　　)A.　　　　　　　　B.C.D.[解析]　直线(t为参数)化为普通方程为xtanα－y＝0.圆(φ为参数)化为普通方程为(x－4)2＋y2＝4，可得圆心坐标为(4,0)，半径r＝2.∵直线(t为参数)与圆(φ为参数)相切，∴＝2，又α>，解得tanα＝－.又α为直线的倾斜角，∴α＝.[答案]　A[例2]　参数方程表示的曲线是什么？[解]　化为普通方程是x2＋y2＝25，∵－≤θ≤，∴

8、0≤x≤5，－5≤y≤5.∴表示以(0,0)为圆心，5为半径的右半圆.直线的参数方程及其应用1．直线参数方程的标准形式直线参数方程的一般形式为(t为参数)，只有当b≥0，a2＋b2＝1时，上述方程组才为直线的参数方程的标准形式，直线经过的起点坐标为M0(x0，y0)，直线上另外两点M1(x1，y1)，M2(x2，y2)对应的参数分别为t1，t2，这时就有

9、M0M1

10、＝

11、t1

12、，

13、M0M2

14、＝

15、t2

16、，

17、M1M2

18、＝

19、t1－t2

20、.2．直线参数方程的应用直线的参数方程应用十分广泛，特别在计算与圆锥曲线的相交弦的弦长时，可以利

21、用参数的几何意义和弦长公式求解，这样可以避免因运用直线和圆锥曲线的方程所组成的方程组求解导致的烦琐运算，从而简化解题过程，优化解题思路．3．应用直线的参数方程求弦长的注意事项(1)直线的参数方程应为标准形式．(2)要注意直线倾斜角的取值范围．(3)设直线上两点对应的参数分别为t1，t2.(4)套公式

22、t1－t2

23、求弦长．[例3]　已知点P(3,2)平分抛物线y2＝4x的一条弦AB，求弦AB的长．[解]　设弦AB所在的直线方程为(t为参数)，代入方程y2＝4x整理得：t2sin2α＋4(sinα－cosα)t－8＝0.①因为

24、点P(3,2)是弦AB的中点，由参数t的几何意义可知，方程①的两个实根t1，t2满足关系t1＋t2＝0.即sinα－cosα＝0.因为0≤α＜π，所以α＝.所以

25、AB

26、＝

27、t1－t2

28、＝＝＝8.曲线的参数方程及其应用圆心为(a，b)，半径为r的圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为(θ为参数)；