2017_18版高中数学第一章立体几何初步4.2空间图形的公理(二)学案北师大必修

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1、4.2　空间图形的公理(二)学习目标　1.掌握公理4及等角定理.2.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角．知识点一　平行公理(公理4)思考　在平面内，直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c.该结论在空间中是否成立？　　梳理　平行公理(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线平行．(2)符号表示：⇒a∥c.知识点二　空间两直线的位置关系思考　在同一平面内，两条直线有几种位置关系？观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？　　梳理　异面直线的概念(1)定义：不同在______________平面内的两条直线．(2)

2、异面直线的画法(衬托平面法)如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．(3)判断两直线为异面直线的方法①定义法；②两直线既不平行也不相交．(4)空间两条直线的三种位置关系10①从是否有公共点的角度来分：②从是否共面的角度来分：知识点三　等角定理思考　观察图，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠D′A′B′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？　　梳理　等角定理空间中如果两个角的两边分别对应________，则这两个角________或________．知识点四　异面直线所成的角思考

3、　在长方体A1B1C1D1—ABCD中，BC1∥AD1，则“直线BC1与直线BC所成的角”与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等？　　梳理　异面直线所成角的定义定义前提两条异面直线a，b作法经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b结论我们把a′与b′所成的______________叫作异面直线a与b所成的角(或夹角)范围记异面直线a与b所成的角为θ，则________________．特殊情况当θ＝________时，a与b互相垂直，记作：________.10类型一　公理4及等角定理的应用例1　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别棱AD和A1D1的中

4、点．求证：∠BMC＝∠B1M1C1.　　　　反思与感悟　(1)空间两条直线平行的证明：①定义法：即证明两条直线在同一平面内且两直线没有公共点．②利用公理4找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．(2)“等角”定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等，还是互补，还是两种情况都有可能．跟踪训练1　如图，已知在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1.　　　　　类型二　异面直线例2　(1)若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系是

5、(　　)A．异面B．相交或平行C．平行或异面D．相交、平行或异面(2)如图，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？10　　　反思与感悟　判断两直线是否为异面直线，只需判断它们是否相交、平行．只要既不相交，也不平行，就是异面直线．跟踪训练2　(1)在四棱锥P－ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对．(2)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？　　例3　如图所示，已知三棱锥A－BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M，N

6、分别是BC，AD的中点，求直线AB和MN所成的角．　　　　反思与感悟　(1)异面直线一般依附于某几何体，所以在求异面直线所成的角时，首先将异面直线平移成相交直线，而定义中的点O常选取两异面直线中其中一个线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点．(2)求异面直线所成的角的一般步骤①作角：平移成相交直线．②证明：用定义证明前一步的角为所求．③计算：在三角形中求角的大小，但要注意异面直线所成的角的范围．跟踪训练3　如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为平面A′B′C′D′与AA′D′D的中心，则EF与CD所成角的度数是______．101．一条直线与两条异面

7、直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是(　　)A．平行或异面B．相交或异面C．异面D．相交2．若OA∥O′A′，OB∥O′B′，且∠AOB＝130°，则∠A′O′B′为(　　)A．130°B．50°C．130°或50°D．不能确定3．下列四个结论中错误命题的个数是(　　)①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．A．1B．2C．3D．44．如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶