赣豫陕2018-2019学年高中数学第一章立体几何初步4.2空间图形的公理(二)学案北师大版必修2

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1、4.2　空间图形的公理(二)学习目标　1.掌握公理4及等角定理.2.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角．知识点一　平行公理(公理4)思考　在平面内，直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c.该结论在空间中是否成立？答案　成立．梳理　平行公理(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线平行．(2)符号表示：⇒a∥c.知识点二　空间两直线的位置关系思考　在同一平面内，两条直线有几种位置关系？观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？答案　平行与相交．教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两

2、侧所在的直线；六角螺母中直线AB与CD.梳理　异面直线的概念(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线．(2)异面直线的画法(衬托平面法)如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．(3)判断两直线为异面直线的方法①定义法；②两直线既不平行也不相交．(4)空间两条直线的三种位置关系①从是否有公共点的角度来分：②从是否共面的角度来分：知识点三　等角定理思考　观察图，在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠D′A′B′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？答

3、案　从图中可以看出，∠ADC＝∠A′D′C′，∠ADC＋∠D′A′B′＝180°.梳理　等角定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，则这两个角相等或互补．知识点四　异面直线所成的角思考　在平行六面体A1B1C1D1—ABCD中，BC1∥AD1，则“直线BC1与直线BC所成的角”与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等？答案　相等．梳理　异面直线所成角的定义定义前提两条异面直线a，b作法经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b结论我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a与b所成的角(或夹角)范围记异面直线a与b所成的角为θ，则0

4、°<θ≤90°.特殊情况当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作：a⊥b.1．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线．(　×　)2．两直线若不是异面直线，则必相交或平行．(　√　)3．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠BAC＝∠B′A′C′.(　×　)类型一　公理4及等角定理的应用例1　在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，BC，A′B′，B′C′的中点，求证：EE′∥FF′.考点　平行公理题点　判断、证明线线平行证明　因为E，E′分别是AB，A′B′的中点，所以BE∥B′E′，且BE＝B′E′.所以四边形EB

5、B′E′是平行四边形，所以EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′.所以EE′∥FF′.反思与感悟　(1)空间两条直线平行的证明：①定义法：即证明两条直线在同一平面内且两直线没有公共点．②利用公理4找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．(2)“等角”定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等，还是互补，还是两种情况都有可能．跟踪训练1　如图，已知在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1.考点　空间等角定理题点　

6、判断、证明角的关系证明　(1)如图，连接AC，在△ACD中，∵M，N分别是CD，AD的中点，∴MN是△ACD的中位线，∴MN∥AC，MN＝AC.由正方体的性质得AC∥A1C1，AC＝A1C1.∴MN∥A1C1，且MN＝A1C1，即MN≠A1C1，∴四边形MNA1C1是梯形．(2)由(1)可知MN∥A1C1.又∵ND∥A1D1，∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．而∠DNM与∠D1A1C1均为锐角，∴∠DNM＝∠D1A1C1.类型二　异面直线命题角度1　异面直线的判定例2　(1)若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系是(　　

7、)A．异面B．相交或平行C．平行或异面D．相交、平行或异面考点　异面直线的判定题点　异面直线的判定答案　D解析　异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a，b异面，直线c的位置可如图所示．(2)如图，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？考点　异面直线的判定题点　异面直线的判定解　由异面直线的定义可知，棱AD，DC，CC′，DD′，D′C′，B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线．反思与感悟　判断两直线是否为异面直线，只需判断它们是否相交、平行．只要既不相交，也不平行，就是异面直线．跟踪训练2

8、　(1)在四棱锥P－ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对．考点　异面直线的判定题点　异面直线的判定答案　8解析　与AB异面的有侧棱PD和PC，同