高中数学第一章立体几何初步1.4.2空间图形的公理（二）学案北师大版必修2

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1、4.2　空间图形的公理(二)学习目标　1.掌握公理4及等角定理(重点)；2.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角(重、难点).知识点一　公理4文字语言平行于同一条直线的两条直线平行符号语言⇒a∥b图形语言【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)公理4在平面内和空间中均成立.(√)(2)多条直线平行于同一条直线，则这些直线互相平行.(√)知识点二　空间等角定理1.定理文字语言空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补符号语言OA∥O′A′，OB∥O′B′

2、⇒∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°图形语言作用判断或证明两个角相等或互补2.推广如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行.(×)(2)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等.(√)(3)如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角互补.(×)知识点三　异面直线所成的角1.概念：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作

3、直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a与b所成的角.2.异面直线所成的角θ的取值范围：0°＜θ≤90°.3.如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直.12两条互相垂直的异面直线a，b，记作a⊥b.4.异面直线所成的角的求法方法一　在空间任取一点O，过点O分别作a′∥a，b′∥b，则a′与b′所成的锐角(或直角)为异面直线a与b所成的角，然后通过解三角形等方法求角.方法二　在其中一条直线上任取一点(如在b上任取一点)O，过点O作另一条直线的平行线(如过点O作a′∥a)，则两条直

4、线相交所成的锐角(或直角)为异面直线所成的角(如b与a′所成的角)，然后通过解三角形等方法求角(如图).【预习评价】(1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？提示　(1)不一定.可能相交、平行或异面.(2)在长方体A1B1C1D1－ABCD中，BC1∥AD1，则“直线BC1与直线BC所成的角”，与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等？提示　相等.题型一　公理4与等角定理的应用【例1】　E，F分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点，求证：四边形B1EDF是平行四边形.证明　设Q是DD1的中点，连

5、接EQ，QC1.因为E是AA1的中点，所以EQ綊A1D1.又因为在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，所以EQ綊B1C1.所以四边形EQC1B1为平行四边形.所以B1E綊C1Q.又因为Q，F分别是矩形DD1C1C两边D1D，C1C的中点，所以QD綊C1F.所以四边形DQC1F为平行四边形.12所以C1Q綊FD.又因为B1E綊C1Q，所以B1E綊FD.所以四边形B1EDF为平行四边形.规律方法　(1)空间两条直线平行的证明：一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角

6、形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；三是利用公理4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行.(2)求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似.【训练1】　在空间四边形ABCD中，如图所示，＝，＝，则EH与FG的位置关系是________.解析　连接BD，如图.∵＝，∴EH∥BD，又∵＝，∴FG∥BD，∴EH∥FG.答案　平行题型二　异面直线的判断【例2】　如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中.哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？解　由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′

7、所在直线分别与直线BA′是异面直线.规律方法　判断两直线是否为异面直线，只需判断它们是否相交、平行.只要既不相交，也不平行，就是异面直线.【训练2】　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；12(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________.解析　序号结论理由(1)平行因为A1D1綊BC，所以四边形A1BCD1为平行四

8、边形，所以A1B∥D1C(2)异面A1B与B1C不同在任何一个平面内(3)相交D1D∩D1C＝D1(4)异面AB与B1C不同在任何一个平面内答案　(1)平行　(2)异面　(3)相交　(4)异面【探究1】　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线BA1与CC