高中数学第一章立体几何初步1.4.1空间图形基本关系的认识1.4.2空间图形的公理（一）学案北师大版必修2

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1、4.1　空间图形基本关系的认识4.2　空间图形的公理(一)学习目标　1.理解空间中点、线、面的位置关系(重点)；2.理解空间中平行直线、相交直线、异面直线、平行平面、相交平面等概念(重点)；3.掌握三个公理及推论，并能运用它们去解决有关问题(重、难点).知识点一　点、线、面之间的位置关系一些文字语言与数学符号的对应关系：位置关系图形表示符号表示点与直线的位置关系点A在直线a外A∉a点B在直线a上B∈a点与平面的位置关系点A在平面α内A∈α点B在平面α外B∉α直线与直线的位置关系平行a∥b相交a∩b＝O异面a与b异面直线与平面的位置关系线在面内a

2、α线面相交a∩α＝A线面平行a∥α平面与平面的位置关系面面平行α∥β面面相交α∩β＝a异面直线不同在任何一个平面内的两条直线，叫作异面直线【预习评价】(1)若A∈a，aα，是否可以推出A∈α？提示　根据直线在平面内定义可知，若A∈a，aα，则A∈α.(2)长方体的一个顶点与12条棱和6个面分别有哪些位置关系？提示　顶点与12条棱所在直线的关系是在棱上，或不在棱上；顶点和6个面的关系是在面内，或在面外.11(3)长方体的棱所在直线与面之间有几种位置关系？提示　棱在平面内，棱所在直线与平面平行和棱所在直线与平面相交.知识点二　平面的基本性质及

3、作用公理内容图形符号作用公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒lα既可判定直线和点是否在平面内，又能说明平面是无限延展的公理2经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α，使A，B，C∈α一是确定平面；二是证明点、线共面问题；三是判断两个平面重合的依据公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l一是判断两个平面相交的依据；

4、二是证明点共线问题的依据；三是证明线共点问题的依据【预习评价】(1)两个平面的交线可能是一条线段吗？提示　不可能.由公理3知，两个平面的交线是一条直线.(2)经过空间任意三点能确定一个平面吗？提示　不一定.只有经过空间不共线的三点才能确定一个平面.题型一　三种语言间的相互转化【例1】　用符号语言表示下列语句，并画出图形.(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.解　(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝

5、P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示如图①.11(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示如图②.规律方法　(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.【训练1】　如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.解　在(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.在(2)中，α∩β＝l，aα，bβ，a∩l＝

6、P，b∩l＝P.题型二　空间点、线、面的位置关系【例2】　如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD相交于点M，则下列说法中正确的是(　　)①点M在直线AC上，点B在直线A1B1外；②直线AC与BD相交，直线AC与A1D1相交；③平面AA1B1B与平面D1DCC1平行；④直线AC与平面A1B1C1D1相交；⑤直线BC与A1B1异面.A.①③④B.①②⑤C.①③⑤D.②③④⑤解析　①中，点M是直线AC与BD的交点，点M在直线AC上，点B显然在直线A1B1外，故①正确；②中，直线AC与A1D1异面，故②错误；③中，两平面没有公共点，

7、即互相平行，故③正确；④中，直线AC与平面A1B1C1D1平行，故④错误；⑤中，直线BC与A1B1既不平行也不相交，只能为异面，故⑤正确.答案　C规律方法　(1)正确理解点、线、面之间的位置关系.(2)异面直线是一种特殊的关系，它们不同在任何一个平面内.(3)通过观察图形，能够更准确地判断点、线、面的位置关系.【训练2】　正方体ABCD－A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有(　　)A.3条B.4条11C.6条D.8条解析　与AC1异面的棱是A1B1，DC，BC，A1D1，BB1，DD1.答案　C方向1　共面问题【例3－1】　已知：如图所

8、示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1、l2、l3在同一平面内.证明　方法一　(纳入平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2