2017_18版高中数学第一章空间图形的公理(一)学案北师大必修

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1、4．1　空间图形基本关系的认识4．2　空间图形的公理(一)学习目标　1.通过长方体这一常见的空间图形，体会点、直线、平面之间的位置关系.2.会用符号表达点、线、面的位置关系.3.掌握空间图形的三个公理及其推论．知识点一　空间图形的基本位置关系对于长方体有12条棱和6个面．思考1　12条棱中，棱与棱有几种位置关系？　　　思考2　棱所在直线与面之间有几种位置关系？　　　思考3　六个面之间有哪几种位置关系．　　梳理　位置关系图形表示符号表示点与直线的位置关系点A在直线a外A∉a点B在直线a上B∈a点与平面的位

2、置关系点A在平面α内A∈α点B在平面α外B∉α直线与直线的位置关系平行a∥b相交异面a与b异面直线与平面的位置关系线在面内线面相交10线面平行平面与平面的位置关系面面平行面面相交异面直线不同在____________________的两条直线，叫作异面直线知识点二　空间图形的公理思考1　照相机支架只有三个脚支撑说明什么？　　　思考2　一把直尺两端放在桌面上，直尺在桌面上吗？　　思考3　教室的墙面与地面有公共点，这些公共点有什么规律？　　梳理　(1)空间图形的公理公理内容图形符号作用公理1如果一条直线上的

3、______在一个平面内，那么这条直线上__________都在这个平面内(即直线在______内)________，________，且______，________⇒lα用来证明直线在平面内公理2过______________________的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α用来确定一个平面公理3________，________⇒α∩β＝l，且P∈l用来证明空间的点共线和线共点10如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条

4、__________________(2)公理2的推论推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面(图①)．推论2：两条相交直线确定一个平面(图②)．推论3：两条平行直线确定一个平面(图③)．类型一　文字语言、图形语言、符号语言的相互转化例1　根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．(1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.　　　　　反思与感悟　(1)用文字语言、符号语言表

5、示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．跟踪训练1　用符号语言表示下列语句，并画成图形．(1)直线l经过平面α内两点A，B；(2)直线l在平面α外，且过平面α内一点P；10(3)直线l既在平面α内，又在平面β内；(4)直线l是平面α与β的交线，平面α内有一条直线m与l平行．　　　　　　类型二　平面的基本性质的应用例2　如图，已知：aα，bα，a∩b＝A，P∈b

6、，PQ∥a，求证：PQα.引申探究将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内．　　　　　　　　　反思与感悟　在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线也在另一个平面内，再证明两个平面重合．跟踪训练2　已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．　　10　　　例3　如图所示，在正方体

7、ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：CE、D1F，DA三线交于一点．　　　　　反思与感悟　(1)点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．(2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重

8、合，从而得三线共点．跟踪训练3　已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线．　　　　　　101.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是(　　)A.A∈l，l∉αB.A∈l，lαC.Al，l∉αD.Al，lα2．满足下列条件，平面α∩平面β＝AB，直线aα，直线bβ且a∥AB，b∥AB的图形是(　　)3．下列推理错误的是(　　)A．A∈l，A∈