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1、2010级高数（二）（专）期末试卷（A）共4页第4页2010级高等数学(二)期末试卷（专）（A）评分参考标准考试时间：2011.5一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.设,则其定义域为()；()；()；()；答（A）2.直线和平面的交点为()；()；()；()；答（A）3.空间曲线在处的切向量为 ()；()；()；()；答（D）4.及存在是在处可微的()充分条件；()必要条件；()充要条件；()既不是充分条件,也不是必要条件；答（B）5.下列级数中收敛的为()；()；()；()；答（B）二、填
2、空题（本大题共5小题,每小题3分，共15分） 6.二重积分7.假设向量、、两两垂直,且,,,则8.假设且函数在点可微,则9.已知级数的前n项部分和,则此级数的通项10.设为连续函数,则累次积分交换积分次序后变为42010级高数（二）（专）期末试卷（A）共4页第4页三、解答下列各题（本大题共7小题，每小题8分，共56分）11．(8分)求与两平面和的交线平行且过点的直线方程.解:直线L的方向向量……4分故直线方程为…………………………………8分12．(8分)求解初始值问题.解：特征方程为，解得特征根为，………………2
3、分从而通解为…………………………………………4分求导得……………………………………………5分将初始条件代入得解得，.…………………………………………………7分所以初值问题的解为……………………………………8分13.(8分)设方程确定隐函数,证明：.解：……………………………2分，，………………………………………………5分………………………………6分………………………………7分故…………………………………………………………………8分14．(8分)假设是顶点分别为的直角梯形,求.解：……………………………………4分…
4、……………………………………………6分…………………………………………………………8分42010级高数（二）（专）期末试卷（A）共4页第4页15．(8分)求函数的极值.解：由，得驻点为，，，…………………………………………2分又，，…………………4分在点处，，且，故为极小值；在点处，，故不是极小值；在点处，，故不是极小值；在点处，，且，故为极大值…………8分16.(8分)讨论无穷级数的敛散性,并判断是条件收敛还是绝对收敛且说明理由.解：记，则且……………………2分故由莱布尼兹定理知收敛………………………4分又因…
5、…………………………………………6分故发散.即条件收敛………………8分17.(8分)求幂级数的收敛半径,收敛区间和收敛域.解：记，则………………………………2分故收敛半径为，收敛区间为…………………4分当时，级数为是收敛的，当时，级数为是收敛的………………………6分所以的收敛域为…………………………8分42010级高数（二）（专）期末试卷（A）共4页第4页四、解答下列各题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）18．(7分)要造一个体积等于的长方体无盖水池,应如何选择水池的尺寸,使得它的表面积达到最小.解：令长方
6、体的长,宽,高分别为,则表面积且……………………………………2分作Lagrange函数…………4分由,有…………………………………………………6分故,…………………………………………………7分19．(7分)假设级数满足条件：（1）；（2）收敛；证明：级数收敛.证明：记,,则……………2分由（2）可知存在,设为,则有……………4分又因,故由（1）可知……………6分即,故级数收敛…………………………………7分4
