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《2010年高数(下)综合复习题解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.设z=artan+ln(x2+y),求dz。解.其中,2.。3.设Z=(x2y,)有二阶连续偏导数，求解.4.求函数(x,y,z)=xy2+yz3在点（1，2，1）处沿着向量={1,2,5}的方向导数.解.5.求球面x2+y2+z2=9/4与椭球面3x2+(y-1)2+z2=17/4交线上对应于x=1的点处的切线与法平面方程。解.当时，设对应的切线的切向量为满足方程：解得：∴过的切线方程：,法平面方程类似可求处的切线，法平面方程。(略)6.求旋转椭球面x2+y2+=1在第一卦限部分上的点，使该点处
2、的切平面在三个坐标轴上的截距平方和最小。解.设所求点为,则过P的切平面方程为：：切平面在三个坐标轴上的截距分别为:目标函数条件(约束)：令：解方程组解得，∴，，所求点为.7.更换积分顺序：（1）I=；（2）I=（1）如图示(图略,下同)(2)如图8.计算二重积分I=D：以（0，0），（1，1）和（0，1）为顶点的三角形区域。9.将三重积分I=分别用直角坐标、极坐标、球面坐标化为累次积分，其中Ω：x2+y2+z2≤4,z≥。积分立体在yoz平面上的投影如图示(图略)。曲面和的交线（消z）在（柱面）上：∴
3、在xoy平面上的投影区域为∴I=10.已知三次积分:I=积分立体在xoy面和yoz面的投影区域，如图示（1）（2）11.计算I=，C是以O（0，0）、A（1，0）、B（0，1）为顶点的三角回路。12.用几种不同的方法计算I=，其中C为上半圆周：,起点O（0,0），终点A（2,0）。注意：C为上半圆周：。起点O（0,0），终点A（2,0）(直接计算法)公式：设C的参数方程且起点、终点对应的参数值分别为，则：法1利用C的坐标方程：，可写出C的参数方程。法2：计算略法3：计算略间接计算法格林公式：注1：当沿
4、着C的正向行进时，区域D在“行者”的左手，取“+”。注2：当C不是闭曲线时，需增加辅助路径；通常选平行于坐标轴的直线段为辅助路径。法4：注3本题中由于因而还可选择以下的间接计算法．准备知识：单连通区域D上有一阶连续偏导数，以下四个结论等价： （１）（２）（３）的值与路径无关（只与起、终点有关）。（４）存在，使且法5可设，使且则13.计算I=，其中C是摆线且参数增加的方向为积分路径的方向。如图增加辅助路径：则：14.计算I=，其中C是以（1，0）为中心，R为半径的圆周（R1），方向取逆时针方向。注R=
5、1圆周经过原点，积分无意义。情形1情形2（原点在圆盘内）设辅助积分路径的大小满足包含在圆盘之内）正方向取为顺时针方向。则：注：C包含的区域内包含原点不满足Green公式条件15.设有连续的二阶导数，且满足其中C为平面第一卦限内任一条闭曲线，已知求。由已知，令 （一阶非齐次线性方程）解得：由，得由得16.函数二阶连续可导，且，试求的表达式，使微分方程是一个全微分方程。17.计算I=其中为立体的边界曲面。如图示,:z=1(,:上18.求球面在柱面内部的表面积。球面在xoy面的投影均为且或上，由对称性1
6、9.计算I=,其中为曲线绕轴旋转一周所成的曲面，它的法向量与轴正向的夹角恒大于.增加辅助曲面，正侧为右侧。又=20.判断或填空：（1）若对一切的n成立，且级数收敛，则级数也收敛。（2）若级数发散，则级数也一定发散。（3）级数收敛，一般项必趋于零。（4）级数的部分和有界，级数一定收敛。（5）若级数收敛，级数发散，则一定发散。（6）若级数绝对收敛，则若级数一定条件收敛。(7)(8)(9)(10)（1）比较法则只对正项级数成立。（×）（2）否则由收敛收敛。（√）（3）（√）（4）正项级数的部分和Sn有界级数
7、收敛（×）（5）否则：而和收敛收敛。（√）（6）绝对收敛与条件收敛是互斥的。（×）。（7）（×）比较法则只对正项级数成立。（8）（×）分l的取值而定（9）（√）（10）（×）收敛半径相同，收敛区间不一定相同。21.判断级数的敛散性：（1）；（2）（3）（4）（1）收敛（2）与同敛散收敛（3）而收敛收敛收敛（4）且时，级数发散。当时，级数收敛。22.将展为X的幂级数，并求其收敛域且即。23.求幂级数的收敛域与和函数先求的表达式及收敛域即24.设级数收敛，试证级数收敛。而和收敛收敛也收敛。25.设是周期为
8、2的函数，且在上，，将展为付氏级数。设显然记26.试用在上的付氏级数求的级数表达式对作周期延拓后，设，则。由在内连续，27.设曲面————（A）（B）（C）（D）选（C）
