运用均值不等式的解题技巧

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1、运用均值不等式求最值的解题技巧一、常用结论1.(1)若a,bgR,则a2+b2>2ah2.⑴若a,bwR“,则凹n临22】(2)若aybeR,则ab2^[ab(3)若a,bwR*,则ab<^-l2丿3.若x〉0,则x+—>2x4.若ab>0,则^+^>2ba~5、熟悉一个重要的不等式链:例1、若小，则汀士的最小值是()(A)2(B)a(D)3(4)若a,bwR,贝I」(凹尸§/+/广22若xv0,则x+—<-2X若ab",则-+->2即醱+仝》2-+-<-2bababa2i~~r-+-ab二、利用均值不等式求最值

2、的条件：一正，二定，三相等①各项必须为正；②含变数的各项和或积必须为定值(和定积最人，积定和最小)；③必须有自变量值能使函数取到=号.三、利用均值不等式求最值常用解题技巧技巧一：化正1、若xvO,则函数/"(x)=x+2的最小值为。2、函数y=,(x<0)的值域。卜3,0]XX+X+1技巧二：凑项例2、己知兀V丄，求函数y=4x_2+——的最大值。44x-5解：因4x-5<0,所以首先要“调整”符号，又(4x-2)^—不是常数，所以对4x-2耍进行拆、凑项,4—55(1Avx<—,.5-4x>0>y=4x-24=-5-4x++3<—2+3=144x-5l

3、5—4兀丿当冃仅当5-4x=—即兀=1时，上式等号成立，故当兀=1时，儿你T。5-4xmax技巧三：凑系数例1.当00,利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x+(8-2x)=8为定值，故只需将y=x(8-2x)凑上一个系数即可。尹=進一2兀)=扣"(_2x)]弓严+；-込2=呂当2x=8-2x,即x=2时収等号当x=2时，y=x(8-2x)的最大值为8。变式：设o<兀<扌，求函数y=4以3—2兀）的最大值。3（—解：*.*0

4、<—/.3—2x>0y=4x（3一2x）=2•2x（3一2x）<2‘0,斗时等号成立。<2丿22当口仅当2%=3-2%,即x=-e技巧四：分离X2+7x+10例1・求)U―(兀>—1)的值域。4兀+1解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有(x+l)的项，再将其分离。X2+7x+10(X+1)2+5(x+1)+4z4c=——=(x+1)++5x+lx+lx+l当,H

5、jx+1>0y>2.(x+l)x^+5=9(当且仅当x=l时取“=”号)。所以仅当Vx+lX~1叭)in=9。技巧五：换元I、x~+7x+10.Xj,At,n求y=(x>-

6、l)旳值域。X+1解：木题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t二x+l,化简原式在分离求最值。5+4-/+-（z-1）2+7（/-1）+1O2+5z+4y==为x>T,L!卩t二兀+1>0时，^>2^rx5+5=9(当t二2即x=l时取“=”号)。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最A值。即化为y=mg(x)+——+B(A〉0,B〉0),g(x)恒正或恒负的形式，然后运川均值不等式来求最值。gM设x〉—1,求函数y=(x+5)(x+2)的最小值。X+1心+1）+4][（兀+1）+1]»+]+丄+5»（

7、兀+]）丄+5=9（兀+1二丄取等）X+lX+1Vx+lX+1技巧六：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数/(%)=%+-的单调性。x2+5例：求函数y=：「的值域。yjx2+4解法一：令+4=t(t>2),贝0y=4-5=y/x2+4+.1=r+-(/>2)lx2+4yjx2+4I因r>0,f--=l,但解得r=±l不在区间［2,+oo),故等号不成立，考虑单调性。因为y=t+-在区间［1,+00）单调递增，所以在其子区间［2,+00）为单调递增函数，故）7弓。t「5、所以，所求函数的值域为-,+00O2丿.aa-l解法二：设y二J/+

8、4+頁订7一7?^4@>1）由均值不等式及函数的单调性得:归2乔-丁希>2亦-牙当且仅当心+4二萇訂7口心+4巴2时等号成立，

9、+

10、于当j~4—15cx=0,a二4时上面不等式放缩后的等号都成立。Ay>272-〒二亍二y血二今例：若实数满足a+b=2,则3"+3"的最小值是解：3"和3〃都是正数，3"+3"上2丁3“・3"=27^=6当3“=3"时等号成立，由a+b=2及3"=3〃得a=b=l即当a=b=l时，3"+3"的最小值是6.变式：若lOgn+lOgq)'=2,11求一+—的最小值•并求X,y的值技巧七：整体代换求x+y的最小值。x+y=(尤+y)1

11、91、已知x>0,y〉0,H.—I—=1XV解法一：