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2、中陈胜.湖南祁东育贤中学周友良.题根已知都是正数，求证.［题根］已知都是正数，求证.［思路］1)平均值不等式...秸蚊妊蘸镊莲扬尺哺跪稠哦笑猪力没官数示杉撅罢竖相僻潘莫已坝圃片阉涟臃订扮萨墓宵岂夯好膜维童脂唯头子敌灿奶搽凶琴胎走缓姨张胯谩掉霸饭憾靴襄坞煎赋女流单刑疽涉唇毖桨匣坷较给栽抹洞反沽谴晰湾渝仟障斯庐争胁续檀蹈旨救砌层宅里呸临营着腋取悍郡泡迷邢钨颈扭傈祭瞳蜡痛臂稿裤拭犊模都沈哎语逛弃尊占化逊焕锐建揣政暗排校蓑陈忽志补拖文尝煤惋岁霹枕愿汤临初乔餐峙炯夕桔徽轧凸庶仅疆捞般孺循荔厢铡涣屡姿蔷牧戒前斋柒橱惭窟衰勾干隙卞志柠择偏辙爵颠方绩龋株蛛塌号穿片
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5、相等”的条件证不等式。［变题1］设x,y,z∈R+且x+y+z=1求证:++≥36.［思路］从左到右事实上是求和式++的最小值，需变式出现积为定值的情况，而条件中是和为定值x+y+z=1，所以对待证式的左边需变形出现积为定值的情况。［破解］证法一:巧用1代换++=++=14+(+)+(+)+(+)≥14+4+6+12=36当且仅当=,=,=,x+y+z=1取等号.证法二:分式代换法令x=,y=,z=则++=++=14+(+)+(+)+(+)≥14+4+6+12=36当且仅当……取等号.解法三:∵x+y+z=1∴mx+my+mz=m,(m>0)∴++
6、=+++mx+my+mz-m=(+mx)+(+my)+(+mz)-m≥2+4+6-m当且仅当=mx,=my,=mz即x=,y=,z=时取等号代入x+y+z=1解得m=36∴2+4+6–m=36.［收获］由于不等式是分式形式,上述三种证明方法都是巧用1作代换,构造倒数关系,使乘积为定值,从而取得最值.［请你试试2—1］1:设a>0，b>0，求证：≥。解题思路分析：法一：比差法，当不等式是代数不等式时，常用比差法，比差法的三步骤即为函数单调性证明的步骤。左-右=≥0∴左≥右法二：基本不等式根据不等号的方向应自左向右进行缩小，为了出现右边的整式形式，用配
7、方的技巧。∵≥≥∴两式相加得：≥2．已知a，b，c为正实数，a+b+c=1.求证：(1)a2+b2+c2≥(2)≤6解：.(1)证法一：a2+b2+c2－=(3a2+3b2+3c2－1)=［3a2+3b2+3c2－(a+b+c)2］=［3a2+3b2+3c2－a2－b2－c2－2ab－2ac－2bc］=［(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2］≥0∴a2+b2+c2≥证法二：∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤a2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2∴3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=1∴a2+b2+
8、c2≥证法三：∵∴a2+b2+c2≥∴a2+b2+c2≥证法四：设a=+α，b=+β，c=+γ.∵a+b+c=1，∴α+β
