高中数学5.3不等式的证明5.3.4放缩法知识导航学案苏教版选修4-5

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1、5.3.4放缩法自主整理在证明不等式时，有时我们要把所证不等式的一边适当地以利化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证的不等式成立，这种方法称为高手笔记1.放缩法多借助于一个或多个中间量进行放大或缩小，如欲证AMB,需通过BWB】,B1WB2W…WBWA(或A^Ai,A&A2M・・・$A"B),再利用传递性，达到证明的目的.2.放缩法的理论依据主要有：(1)不等式的传递性；(2)等量加不等量为不等量；(3)同分子(分母)、异分母(分子)的两个分式大小的比较；(4)基本不等式与绝对值不等式的基本性质；(5)三角惭数的有界性.名师解惑使用

2、放缩法时常用的技巧有哪些？剖析:放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标，而且要恰到好处，0标往往要从证明的结论考察，常用的放缩方法有增项、减项，利用分式的性质,利用不等式的3311性质，利用已知不等式,利用函数的性质进行放缩，比如:(a+-)2+l>(a+-)2,——22k~k(k_V)(k>l)等变形.丄—?—<_L<—?—kk(k+1)yfk++1y[k-[k+-xjk—讲练互动【例1]已知a£(0,—),求证:sina+cosnaWl(nM2且nUN).2分析：当n=2时,sin2a+cos2a=1,要证不等式成立，只需证si

3、n2a>sinna,cos2a>cosna即可.证明:当n=2时，sin2a+cos2a=1.71・.・aG(0,-),2.*.0

4、丄,2233A(-)n+(-)n<-+-=-2时,求证:logn(n-l)logn(n+l)2,.logn(n-l)>0,logn(n+l)>0,且log*(nT)Hlogn(n+1)./.logn(n-l)・logo(n+1)<[log”O-l)+log”(n+1)]22[]0g”⑺2_1)2当n>2时，logn（n-l）logn（n+1）<1成立.绿色通道在进行对数之积运算吋往往要利用基本不等式放大为对数之和进行运算,对照不等式的右

5、边进行适当放缩.变式训练1.求证：lg9•lglKl.证明:Vlg9>0,lgll>0,且lg9Hlgll,・小9・]gll〈（^±Ml）2=（吐）2〈（輕鬥，222Alg9•lgll

6、a+b

7、1+也丨+1纠证法一：・・・0W1a+bI1a1+Ib1,・a+h=1-1W1-**1+也+纠1+

8、G+Z?

9、1_也丨+1纠_⑷Ibw⑷+⑹•—________—::::w_____+_

10、____1+1a

11、+1方

12、一1+1Q

13、+1纠一1+1Q

14、+

15、纠1+1aI+1纠1+1aI1+16X1证法二：Tf(x)二一!一二1-一!一在[0,+8)上单调递增，且0W

16、a+b

17、WIa

18、+Ib

19、,1+x1+x・

20、d+b

21、w丨。丨+丨纠"1+1^+纠、l+ldl+l纠1+ldl+l纠w込+卫L成立.1+

22、a

23、1+1纠绿色通道对于含有绝对值的分式结构的不等式，可借助绝对值不等式的性质进行放缩.变式训练cihc3.已知a、b^c是ZABC的三边长，求证：1——:—>•1+d1+/?1+C证明：・・・&、b、c是ZkABC的三边长,・・・a+b+c>0.aa

24、bb..>,>•1+d1+a+b1+/?1+d+babab••+>+1+a1+b1+a+b1+d+ba+b11+a+b]ci+bVa+b>c,.丄成立.1+d1+方1+c【例4】求证：1+1分析：不等式的左边无法进行合并，观察到右边有2倍关系，可将2改写为才2n—1+yfn=2(Vn->Jn-)进行放缩.证明：T当n^2时，Th+二T<2徧,I2—j=

25、<2』3Qn各式左、右两边分别相加，得1+4+』+•・・+丄〈1+（2逅—2/）