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《高中数学5.3不等式的证明5.3.1比较法知识导航学案苏教版选修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、5.3.1比较法自主整理1.比较法一般分为两种:________________和________________.2.作差比较法(1)作差比较法的证明依据:________________________________.(2)基本步骤:①作差;②合并化简;③分解因式(或配方);④与0比较大小.3.作商比较法(1)作商比较法的证明依据:________________________________.(2)基本步骤:①______________;②______________;③______________;④______________.高手笔记1.比较法
2、是证明不等式的最基本、最重要的方法之一,它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用,在其一般步骤中,变形是证明过程中的关键,变形常用的方法有配方法和分解因式法,其目的是要判断差的正负号或商的分子、分母的大小关系,从而进一步作出比较.2.一般地,论证多项式结论的不等式常用作差比较法,而有关幂、指数的不等式常用作商比较法,证明对数不等式常用作差比较法,这与它们的运算性质有关.若“差”或“商”中含有参数时,可对其进行分类讨论,注意分类的标准,做到“不重不漏”.名师解惑如何正确使用作商法?剖析:在作商比较两个数的大小时,不要盲目地下结论,如＜1a＞b是错误的,因为这里的变
3、形实质上是在不等式＜1两边同乘a所得,但不等式的性质中同乘一个正数和同乘一个负数是不同的,当a＞0时,得b＜a,但当a＜0时,得b＞a,所以应该看分母的符号是否确定,如果不确定要对其正、负进行分类讨论,即不等式的证明要以不等式的性质为依据.使用两个实数具有的性质进行比较.讲练互动【例1】求证:a2+b2＞2(a-b-2).分析:此不等式的两边为多项式结构,通常用作差比较法进行证明.证明:∵a2+b2-2(a-b-2)=a2+b2-2a+2b+4=(a-1)2+(b+1)2+2＞0,∴a2+b2＞2(a-b-2).绿色通道不等号两边为多项式结构的不等式,通常用作差
4、比较法证明,通过配方或分解因式变形,判断符号.变式训练1.已知a、b都是正数,且a≠b,求证:a5+b5＞a3b2+a2b3.证明:a5+b5-(a3b2+a2b3)=(a5-a3b2)+b5-a2b3=a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a3-b3)(a2-b2)=(a-b)2(a+b)(a2+ab+b2),∵a、b都是正数,∴a+b＞0,a2+ab+b2＞0.∵a≠b,∴(a-b)2＞0.∴(a-b)2(a+b)(a2+ab+b2)＞0,即a5+b5＞a3b2+a2b3成立.【例2】已知a＞b＞c＞0,求证:a2a·b2b·c2c＞ab+c·bc+a·
5、ca+b.分析:不等式的两边都是指数幂的乘积,根据指数的运算法则,可用作商比较法.证明:=a2a-(b+c)·b2b-(a+c)·c2c-(a+b),∵a＞b＞c＞0,∴2a-b-c＞0,2c-a-b＜0.∴a2a-b-c＞b2a-b-c,c2c-a-b＞b2c-a-b.∴a2a-b-c·b2b-a-c·c2c-a-b＞b2a-b-c·b2b-a-c·b2c-a-b=b0=1.∴＞1.∴a2a·b2b·c2c＞ab+c·ba+c·ca+b.绿色通道指数幂结构的不等式一般用作商比较法证明,并运用指数的运算性质进行适当地放缩,与1比较大小.变式训练2.已知a＞b＞0
6、,求证:aabb＞abba.证明:=aa-b·bb-a=()a-b,∵a＞b＞0,∴＞1,a-b＞0.∴()a-b＞1.∴＞1.∴aabb＞abba成立.【例3】已知a≥1,求证:.分析:因不等式两边进行分子有理化相减后,可判断差的符号,故可用作差法进行证明.又∵a≥1,∴不等式两边都大于0,故还可以用作商法进行证明.证法一:∵()-()==＜0,∴＜.证法二:∵=＜1,又∵＞0,∴＜成立.绿色通道对于两根式相加或相减,常用平方差公式进行分子或分母有理化变形.变式训练3.若a＞0,b＞0,求证:+≥.证明:∵a＞0,b＞0,∴-(+)==(a-b)(-)==.∵
7、a＞0,b＞0,∴＞0,＞0,()2≥0.∴-()≥0,即≥.【例4】已知a、b是两正实数,试比较an+bn与an-1b+abn-1(n∈N*,n＞1)的大小.解:an+bn-(an-1b+abn-1)=an+bn-an-1b-abn-1=an-1(a-b)-bn-1(a-b)=(a-b)(an-1-bn-1).①当a＞b＞0时,有a-b＞0,an-1-bn-1＞0,得(a-b)(an-1-bn-1)＞0,即an+bn＞an-1b+abn-1.②当b＞a＞0时,有a-b＜0,an-1-bn-1＜0,得(a-b)(an-1-bn-1)＞0,即an+bn＞an-1b
8、+abn-1.③当b=a
