高中数学 5.3 不等式的证明 5.3.1 比较法同步测控 苏教版选修4-5

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1、5.3.1比较法同步测控我夯基,我达标1.设a＞1＞b＞-1,则下列不等式恒成立的是()A.＜B.＞C.a2＞D.a＞b2解析:∵-1＜b＜1,∴b2＜1＜a.答案:D2.若x＞0,y＞0,a=x3+y3,b=x2y+xy2,则a与b的大小关系是()A.a＞bB.a＜bC.a≤bD.a≥b解析:a-b=x3+y3-(x2y+xy2)=x2(x-y)+y2(y-x)=(x2-y2)(x-y)=(x-y)2(x+y),∵x＞0,y＞0,∴x+y＞0,(x-y)2≥0.∴a-b≥0.∴a≥b.答案:D3.下列关系中对任意a＜b＜0的实数都成立的是()A.a2＜b2B.lgb2＜l

2、ga2C.＞1D.解析:∵a＜b＜0,∴a2＞b2＞0.又∵y=lgx在(0,+∞)上为单调增函数,∴lgb2＜lga2成立.答案:B4.已知a＞0且a≠1,P=loga(a3+1),Q=loga(a2+1),则P、Q的大小关系是()A.P＞QB.P＜QC.P=QD.大小不确定解析:P-Q=loga(a3+1)-loga(a2+1)=loga.当a＞1时,a3＞a2＞1，∴a3+1＞a2+1.∴＞1.∴loga＞0.∴P＞Q.当0＜a＜1时,0＜a3＜a2＜1,∴1＜a3+1＜a2+1.∴0＜＜1.∴loga＞0.∴P＞Q.综上，P＞Q.答案:A5.已知a、b、c、d为正实数且

3、＜,则()A.＜＜B.C.＜＜D.以上均可能解析:,∵a、b、c、d都是正实数,＜,∴ad＜bc.∴bc-ad＞0.∴＞0.∴.又∵＜0,∴.∴＜.答案:A6.已知0＜x＜1,a=,b=1+x,c=,则其中最大的是()A.aB.bC.cD.不能确定解析:b-a=1+x-2=(1-)2,∵0＜x＜1,∴(1-)2＞0.∴b＞a.b-c=1+x-,∵0＜x＜1,∴1-x＞0.∴-＜0.∴b-c＜0,b＜c.∴a＜b＜c.答案:C7.a、b都是正数,P=,Q=,则P、Q的大小关系是()A.P＞QB.P＜QC.P≥QD.P≤Q解析:∵P2=,Q2=a+b,∴Q2-P2=(a+b)-()

4、==()2≥0.∴Q2≥P2.∵P＞0,Q＞0,∴Q≥P.答案:D8.若a、b∈R+,且a≠b,则下列式子:①a2+3ab＞2b2,②a5+b5＞a3b2+a2b3,③a2+b2+5≥2(2a-b),④+＞2,其中恒成立的个数是()A.1B.2C.3D.4解析:①a2+3ab-2b2=(a+b)2-b2-2b2=(a+b)2-,符号不定,∴①不一定成立.②a5+b5-a3b2-a2b3=a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a3-b3)(a2-b2)=(a-b)2(a+b)(a2+ab+b2),∵a、b∈R+,∴a+b＞0.∵a≠b,∴(a-b)2＞0.又∵a2+ab+b2

5、＞0,∴a5+b5＞a3b2+a2b3成立.∴②成立.③a2+b2+5-2(2a-b)=a2-4a+4+b2+2b+1=(a-2)2+(b+1)2＞0,∴③成立.④∵-2=又∵a、b∈R+,∴ab＞0.∵a≠b,∴(a-b)2＞0.∴＞0.∴＞2成立.综上②③④成立.答案:C我综合，我发展9.设a＞0,b＞0,m＞0,且＜,则a与b的大小关系为_______________.解析:∵＜,a＞0,b＞0,m＞0,∴(a+m)b＜a(b+m).∴bm＜am.∴a＞b.答案:a＞b10.已知a＞0,b＞0,t∈R,x=,y=a-b,则x与y的大小关系为_____________.解析

6、:x-y=-a+b=======,∵a＞0,b＞0,∴ab＞0.又(a+b-t)2≥0,∴当a≥b时,b-a≤0,x≤y;当a0,x>y.答案:当a≥b时,x≤y;当ay11.设x=a2b2+5,y=2ab-a2-4a,若x＞y,则实数a、b应满足的条件为_____________.解析:由x＞y,得a2b2+5-2ab+a2+4a=(ab-1)2+(a+2)2＞0,∴ab≠1或a≠-2.答案:ab≠1或a≠-212.设a＞b＞0,求证:分析:本题可用作差比较法或作商比较法证明.证法一:=∵a＞b＞0,∴ab＞0,a2+b2＞0,a-b>0,a+b>

7、0.∴证法二:=1+.∵a＞b＞0,∴＞0.∴1+＞1.∴.13.求证:2x4+2y4≥xy(x+y)2.分析:本题不等式的两边为多项式结构,可用作差比较法证明.证明:∵2x4+2y4-xy(x+y)2=2x4+2y4-x3y-xy3-2x2y2=x4-x3y+y4-xy3+x4-2x2y2+y4=x3(x-y)-y3(x-y)+(x2-y2)2=(x-y)(x3-y3)+(x2-y2)2=(x-y)2(x2+xy+y2)+(x2-y2)2=(x-y)2［(x+)2+y2］+(x2-y2)2