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《高中数学5.3不等式的证明5.3.1比较法知识导航学案苏教版选修4-5》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、5.3.1比较法自主整理1.比较法_般分为两种:和.2.作差比较法(1)作差比较法的证明依据:⑵基本步骤:①作差;②合并化简;③分解因式(或配方)；④与0比较大小.3.作商比较法⑴作商比较法的证明依据:.⑵基本步骤:①；②；③；④高手笔记1.比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，在其--般步骤屮，变形是证明过程屮的关键，变形常用的方法有配方法和分解因式法,其冃的是要判断差的正负号或商的分子、分母的大小关系，从而进一步作出比较.2.一般地，论证多项式结论的不等式常用作差比较法，而有关帚、指数的不等式常用作商比较法，证明
2、对数不等式常用作差比较法，这与它们的运算性质有关.若“差”或“商”中含有参数吋,可对其进行分类讨论，注意分类的标准，做到“不重不漏”.名师解惑如何正确使用作商法？剖析:在作商比较两个数的大小时，不要盲目地下结论，如-b是错课的，因为这里ab的变形实质上是在不等式一<1两边同乘a所得,但不等式的性质屮同乘一个正数和同乘一a个负数是不同的，当a>0时,得ba,所以应该看分母的符号是否确定,如果不确定要对其正、负进行分类讨论，即不等式的证明要以不等式的性质为依据.使用两个实数具有的性质进行比较.讲练互动【例1】求证:a2+b2>2(a-
3、b-2).分析:此不等式的两边为多项式结构，通常用作差比较法进行证明.证明:Va2+b-2(a-b-2)=a2+b2-2a+2b+4=(a-l)2+(b+l)2+2>0,a'+b">2(a_b_2).绿色通道不等号两边为多项式结构的不等式，通常用作差比较法证明,通过配方或分解因式变形，判断符号.变式训练1.已知a^b都是正数，且aHb,求证:a5+b5>a3b2+a2b3.证明:a5+b5-(a3b2+a2b3)=(a5-a3b2)+b5-a2b3=a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a-b3)(a2-b2)=(a-b)2(a+b)(a2+ab+b2),Ta、
4、b都是正数，a+b>0,a2+ab+b2>0.Va^b,・・・(a-b)2>0.(a-b)2(a+b)(a2+ab+b2)>0,即a5+b5>a3b2+a2b3成立.【例2］已知a>b>c>0,求证:a2a•b2b•c2c>abR・bc4a•ca，b.分析:不等式的两边都是指数幕的乘积,根据指数的运算法则，可用作商比较法.证明:•ba+c2c-(a十b)cVa>b>c>0,/>2a-b-c>0,2c-a~bV0・>b2a_b_c2c-a-b>严•2a-b-c•・aC•2a-b~c.>a•12b-a~c>1.•2ai2b2c、b+cia+ca+b••a•b•c>a•b
5、•c.绿色通道指数帚结构的不等式一般用作商比较法证明，并运用指数的运算性质进行适当地放缩,与1比较大小.变式训练1.已知a〉b>0,求证:aabb>abba.J证明:而『廿=(产Va>b>0,A->l,a-b>0.bbaahh・・・丽>l・z>扣成立.【例3】己知a^l,求证:Jd+1-罷V奶-Jd-1・分析:因不等式两边进行分子有理化相减后，可判断差的符号，故可用作差法进行证明.又・・5$1,・・・不等式两边都大于0,故还可以用作商法进行证明.证法一：•/(Ja+1一需)-(需一)11Ja+1+y[ci+Ja—1yci—1—Jd+1(Ja+]+y[ci+Jo—1)
6、/•Ja+1—0,.*.Ja+1--[ci0,b>0,求证:证明:Va>0,b>0,・••莘+纟-彼+丽)二罕+孕QbyjaQby/a=(a-b)((a-b)(y/~a-4b)y[ab(y[ci+V^)(V^-y[b)~4cibVa>0,b>0,：.4a+4b>0,4ab>0,(需一丽)00.・・・莘+纟-(需+丽
7、)20,Jb>Ja即勞斤2y[ci+y[b.【例4】已知a、b是两正实数,试比较『+以与列b+a*(nWN：n>l)的大小.解:an+bn-(an_1b+abn_l)=an+bn~an^b-ab^^a0-1(a~b)-bn_1(a-b)=(a~b)(an_l~bn_1).①当a>b>0时,有a~b>0,ar_1-b"1>0,得(a-b)(a，，_l-bh')>0,即a"+b>a"'b+ab"-1.②当b>a>0时，有a-b<0,a^-b"'<0,得(a-b)(a"1-b"')>0,即a"+b>a"1b+ab"*.③当b=a>0时，(a-b)(an_1-bn')=
