高中数学5.3不等式的证明5.3.3反证法知识导航学案苏教版选修4

《高中数学5.3不等式的证明5.3.3反证法知识导航学案苏教版选修4》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、5.3.3反证法自主整理运用反证法证明不等式的主要步骤:第一步:作出与所证不等式______________的假设;第二步:从____________出发,应用正确的推理方法,推出____________结论,_____________假设,从而证明原不等式成立.高手笔记用反证法证明不等式应把握以下几点:(1)必须否定结论,即肯定结论的反面,当结论的反面呈现多样性时,必须罗列出所有情况,做到完全否定,不能遗漏.(2)反证法必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件且必须根据这一条件进行推理,否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行推理,就不是反证法.(3)推导出的矛盾可能多

2、种多样,有的与已知条件矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知事实,已知数学公理、定理矛盾,或自相矛盾,推导出的矛盾必须是明显的.(4)在使用反证法时,“否定的结论”在推理论证中往往作为已知条件使用.名师解惑反证法的理论依据是什么?剖析:我们知道,互为逆否命题的两个命题,其真假性是一致的,即原命题pq为真命题,则qp也必为真命题.这是因为如果逆否命题qp为假的话,则qp是真的.于是有qpq,即qq,这显然是错误的.所以我们可利用互为逆否命题的两个命题的等价性,证明其逆否命题成立来说明原命题成立.反证法适用于正面不太容易证,而反面易证的情况,“至多”“至少”“存在性”“唯一性”问题常用反证

3、法.讲练互动【例1】设a、b、c∈R,a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,求证:a>0,b>0,c>0.分析:本题的条件比较复杂,所要证明的结论比较简单,即证“a、b、c都为正数”,可用反证法.证明:假设a、b、c不全大于0,不妨设a≤0.当a=0时,abc=0与abc>0矛盾.当a<0时,∵abc>0,∴bc<0.∵a+b+c>0,∴b+c>-a>0.∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0,与ab+bc+ca>0矛盾.∴假设不成立.∴a>0,b>0,c>0成立.绿色通道“都”的反面是“不都”或“不全”,即“至少有一个”,情况较多.本题中a、b、c同等地位,可不

4、妨设a≤0,要全部否定,注意有“=”.变式训练1.若x>0,y>0,且x+y>2,求证:、中至少有一个小于2.证明:假设、都大于等于2,即≥2,≥2.∵x>0,y>0,∴1+y≥2x,1+x≥2y.∴2+(x+y)≥2(x+y).∴x+y≤2,与x+y>2矛盾.∴假设不成立.∴、中至少有一个小于2成立.【例2】设a、b、c∈(0,1),求证:(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a不能都大于.分析:本题结论情况较复杂,正面不易证出,可用反证法.证法一:假设(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a都大于,即(1-a)b>,(1-b)c>,(1-c)a>.∵00.

5、∵b>0,∴(1-a)b≤()2.∴≥>.∴1-a+b>1.∴b>a.同理可得c>b,a>c.∴a+b+c>a+b+c,即0>0,矛盾.∴假设不成立.∴(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a不能都大于.证法二:假设(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a都大于,即有b-ab>,c-bc>,a-ac>.三式相乘,得(1-a)a(1-b)b(1-c)c>.∵00.∴0<(1-a)a≤［］2=.同理0<(1-b)b≤,0<(1-c)c≤.∴(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤,与(1-a)a(1-b)b(1-c)c>矛盾.∴假设不成立,原结论成立.绿色通道本题为

6、否定性命题,用反证法证明并结合基本不等式完成推理.变式训练2.设01,(2-b)a>1,(2-c)b>1.∵00.∴1<≤.∴2<2-a+c.∴a

7、断函数值的大小,但结论包括多种不同的情况,“至少”问题可用反证法.证法一:假设｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜都小于,则｜f(1)｜=｜1+p+q｜<,｜f(2)｜=｜4+2p+q｜<,｜f(3)｜=｜9+3p+q｜<.∴｜f(1)｜+2｜f(2)｜+｜f(3)｜<2.而｜f(1)｜+2｜f(2)｜+｜f(3)｜≥｜f(1)+f(3)-2f(2)｜=｜(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)｜=2,矛盾.∴假设不成立.∴｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜