2019_2020学年高中数学第四章圆与方程4.2.1直线与圆的位置关系学案含解析新人教A版必修

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1、4.2.1　直线与圆的位置关系知识导图学法指导1.比较判断直线与圆的位置关系的两种方法——代数法与几何法．2．体会利用代数方法解决几何问题的思想，利用数形结合的思想方法解决一些综合问题．高考导航判断直线与圆的位置关系、直线与圆相切的问题及弦长问题是高考考查的热点题型，一般以选择题、填空题的形式出现，分值5分.知识点　直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离d＝dr代数法：由消元

2、得到一元二次方程，判别式为ΔΔ>0Δ＝0Δ<0图形判断直线与圆的位置关系，一般常用几何法，因为代数法计算繁琐，书写量大，易出错，几何法则较简洁，但是在判断直线与其他二次曲线的位置关系时，常用代数法．-12-[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．(　　)(2)直线x＋2y－1＝0与圆2x2＋2y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是相交．(　　)答案：(1)√　(2)√2．直线x－3y＋1＝0与圆x2＋y2＝的位置关系是(　　)A．相离　　　

3、　　B．相切C．相交且过圆心D．相交但不过圆心解析：圆心(0,0)到直线x－3y＋1＝0的距离d＝<，故直线与圆相交，但不过圆心．答案：D3．已知圆的方程为x2＋y2＝1，则经过圆上一点M(1,0)的切线方程是(　　)A．x＝1B．y＝1C．x＋y＝1D．x－y＝1解析：方法一　由圆的方程为x2＋y2＝1，可知圆心A的坐标为(0,0)，圆的半径r＝1，∴经过圆上一点M(1,0)的切线方程是x＝1，方法二　直接应用切线方程的第(1)个结论得，所求切线方程为1·x＋0·y＝12，即x＝1.答案：A4．直线x－2y＋5＝0与圆x2＋

4、y2＝8相交于A，B两点，则

5、AB

6、＝________.解析：d＝＝，所以

7、AB

8、＝2＝2＝2.答案：2-12-类型一　直线与圆的位置关系的判断例1　已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点．【解析】　有两种方法．方法一　将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理，得(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0，Δ＝4m(3m＋4)．(1)当Δ>0时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与

9、圆有两个公共点；(2)当Δ＝0时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当Δ<0时，即－0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当d＝2时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当d>2时，即－

10、点.(1)两方程联立，消元后根据根的判别式Δ的取值情况列等式或不等式(相切⇔Δ＝0，相离⇔Δ<0，相交⇔Δ>0)；(2)根据圆心到直线的距离d与半径r的关系列等式或不等式(相切⇔d＝r，相离⇔d>r，相交⇔d

11、径r＝1，圆心到直线的距离d＝＝1＝r，∴直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1相切．解法二　由得25x2－30x＋9＝0，∵Δ＝(－30)2－4×25×9＝900－900＝0，∴直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1相切．本题可采用几何法和代数法判断直线与圆的位置关系．类型二　直线与圆相切问题例2　若直线l过点P(2,3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，求直线l的方程．【解析】　因为(2－1)2＋(3＋2)2>1，所以点P在圆外．(1)若直线l的斜率存在，方法一　设l：y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2

12、k＝0，因为直线l与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，所以＝1，所以k＝.所以直线l的方程为y－3＝(x－2)，即12x－5y－9＝0.方法二　设l：y－3＝k(x－2)，即y＝k(x－2)＋3，与圆的方程联立消去y得(x－1)2＋[k(x－2)＋3＋2]2＝1，整理得(