高中数学 第四章 圆与方程 4.2.1 直线与圆的位置关系 第一课时 直线与圆的位置关系学案（含解析）新人教A版必修.doc

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1、4．2.1　直线与圆的位置关系第一课时　直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系[提出问题]“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象．如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片．问题1：图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？提示：(1)相离，(2)相切，(3)相交．问题2：结合初中平面几何中学过的直线与圆的位置关系，直线与圆有几种位置关系？提示：3种，分别是相交、相切、相离．问题3：如何判断直线与圆的位置关系？提示：可利用圆心到直线的距离d与半径r的关系．[导入新知]1．直线与圆有三种位置关系位置关系交点个数

2、相交有两个公共点相切只有一个公共点相离没有公共点　　2.直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断位置关系相交相切相离公共点个数两个一个零个判定方法几何法：设圆心到直线的距离d＝d＜rd＝rd＞r代数法：由消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜0[化解疑难]判断直线与圆的位置关系，一般常用几何法，因为代数法计算烦琐，书写量大，易出错，几何法则较简洁，但是在判断直线与其他二次曲线的位置关系时，常用代数法．直线与圆位置关系的判断[例1]　若直线4x－3y＋a＝0与圆x2＋y2＝100有如下关系：①相交；②相切；③相离，试分别求实数a的取值

3、范围．[解]　法一：(代数法)由方程组消去y，得25x2＋8ax＋a2－900＝0.Δ＝(8a)2－4×25(a2－900)＝－36a2＋90000.①当直线和圆相交时，Δ>0，即－36a2＋90000>0，－5050.法二：(几何法)圆x2＋y2＝100的圆心为(0,0)，半径r＝10，则圆心到直线的距离d＝＝.①当直线和圆相交时，dr，即>10，

4、a<－50或a>50.[类题通法]直线与圆位置关系判断的三种方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．[活学活用]1．直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)A．相交B．相离C．相交或相切D．相切答案：C2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　)A．[－3，－1]B．[－1,3]C．[－3,1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)

5、答案：C切线问题[例2]　过点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，求切线l的方程．[解]　∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1，∴点A在圆外．法一：当直线l的斜率不存在时，l的方程是x＝－1，不满足题意．设直线l的斜率为k，则方程为y－4＝k(x＋1)，即kx－y＋4＋k＝0.圆心(2,3)到切线l的距离为＝1，解得k＝0或k＝－，因此，所求直线l的方程y＝4或3x＋4y－13＝0.法二：由于直线l与圆相切，所以方程组只有一解．消去y，得到关于x的一元二次方程(1＋k2)x2＋(2k2＋2k－4)x＋k2＋2k＋4＝0，则Δ＝(2k2＋2k－4)2

6、－4(1＋k2)(k2＋2k＋4)＝0，解得8k2＋6k＝0，即k＝0或k＝－，因此，所求直线l的方程为y＝4或3x＋4y－13＝0.[类题通法]1．过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.2．过圆外一点(x0，y0)的切线方程的求法设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆

7、外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．[活学活用]1．直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为(　　)A．0或2　　　　　　B．2C.D．无解答案：B2．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为(　　)A．x＋y－2＝0B．x＋y－4＝0C．x－y＋4＝0D．x－y＋2＝0答案：D弦长问题[例3]　已知圆的方程为x2＋y2＝8，圆内有一点P(－1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦．(1)当α＝135°时，求AB的长；(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．[解]　(1)法