高中数学 第四章 圆与方程 4.2.1 直线与圆的位置关系 第二课时 直线与圆的位置关系（习题课）学案（含解析）新人教A版必修.doc

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1、第二课时　直线与圆的位置关系(习题课)1．直线与圆的位置关系有哪几种？略2．如何用几何法和代数法判断直线与圆的位置关系？略3．如何求过某点的圆的切线方程？略4．如何求圆的弦长？略与圆有关的切线问题[例1]　自点P(－6,7)发出的光线l射到x轴上的点A处，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－8x－6y＋21＝0相切于点Q.求光线l所在直线方程．[解]　如图，作圆x2＋y2－8x－6y＋21＝0关于x轴的对称圆x2＋y2－8x＋6y＋21＝0，由几何光学原理，知直线l与圆x2＋y2－8x＋6y＋21＝0相切．由于l的斜率必存在，故可设直线l：y－7＝k(x＋6)

2、，即kx－y＋6k＋7＝0.由圆x2＋y2－8x＋6y＋21＝0的圆心(4，－3)到直线l的距离等于半径，知＝＝2，解得k＝－或k＝－，故光线l所在直线的方程为3x＋4y－10＝0或4x＋3y＋3＝0.[类题通法]过已知圆外一点求切线的方程一般有三种方法：(1)设切线斜率，用判别式法；(2)设切线斜率，用圆心到直线的距离等于半径长；(3)设切点(x0，y0)，用切线公式法．[活学活用]　已知圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝1.求：(1)过A(3,4)的圆C的切线方程；(2)在两坐标轴上的截距相等的圆C的切线方程．解：(1)当所求直线的斜率存在时，设过A(3,4)的直线

3、方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，由＝1，得k＝.所以切线方程为y－4＝(x－3)，即4x－3y＝0.当所求直线的斜率不存在时，直线方程为x＝3，也符合题意．故所求直线方程为4x－3y＝0或x＝3.(2)设在两坐标轴上的截距相等的直线方程为＋＝1或y＝kx，于是由圆心(2,1)到切线距离为1，得＝1或＝1.解得a＝3±，k＝0或k＝.故所求切线方程为x＋y＝3±或y＝0或y＝x.与圆有关的参数问题[例2]　已知直线l：y＝－x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，求m的取值范围．[解]　∵l：y＝－x＋m，圆x2＋y2＝1，∴l可变形为

4、x＋3y－3m＝0，圆的圆心为(0,0)，半径长r＝1.当直线和该圆相切时，应满足d＝＝1，解得m＝±.在平面直角坐标系中作出图象，如图所示，其中l2：y＝－x＋，l3：y＝－x－.过原点作直线l0：y＝－x，m0：y＝－x.∵直线l的斜率k＝－，直线AB的斜率k＝－1，∴只有当直线l在移动到过A(0,1)后才开始与圆在第一象限内有两个交点，此时对应的直线l1：y＝－x＋1.要使直线与圆在第一象限内有两个不同交点，直线l只有在直线l1和直线l2之间运动才可，此时相应的m∈.∴m的取值范围是.[类题通法]解决与圆有关的参数问题，有时直接求解比较困难，可根据题意先画出图象，

5、利用数形结合的方法，可以很容易得出答案．[活学活用]　在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝4，直线l：12x－5y＋c＝0(其中c为常数)．下列有关直线l与圆O的命题：①当c＝0时，圆O上有四个不同的点到直线l的距离为1；②若圆O上有四个不同的点到直线l的距离为1，则－13＜c＜13；③若圆O上恰有三个不同的点到直线l的距离为1，则c＝13；④若圆O上恰有两个不同的点到直线l的距离为1，则13＜c＜39；⑤当c＝±39时，圆O上只有一个点到直线l的距离为1.其中正确命题的序号是________．答案：①②⑤直线与圆的综合问题[例3]　已知圆x2＋y2＋x－6

6、y＋m＝0与直线x＋2y－3＝0相交于P，Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．[解]　由消去y，得5x2＋10x＋4m－27＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则又OP⊥OQ，∴kOP·kOQ＝－1，即x1x2＋y1y2＝0.∴x1·x2＋(3－x1)·(3－x2)＝0，整理得5x1x2－3(x1＋x2)＋9＝0，∴5×－3×(－2)＋9＝0.解得m＝3满足①∴实数m的值为3.[类题通法]此题设出P，Q两点的坐标，但在求解过程中又不能刻意地求出来，只将它作为一个转化过程中的桥梁，这种“设而不求”的解题方法在解析几何中很常见，要注意认真体会并掌握．[活学

7、活用]　自原点O作圆(x－1)2＋y2＝1的不重合两弦OA，OB，若

8、OA

9、·

10、OB

11、＝k(定值)，证明不论A，B两点位置怎样，直线AB恒切于一个定圆，并求出定圆的方程．解：设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则

12、OA

13、·

14、OB

15、＝·＝·＝＝k.∴x1x2＝.设直线AB的方程为y＝mx＋b，代入已知圆的方程并整理，得(1＋m2)x2＋2(mb－1)x＋b2＝0，由根与系数的关系，得x1x2＝.∴＝.∵原点O到直线mx－y＋b＝0的距离为，∴所求定圆的半径r满足r2＝＝(定值)．∴直线AB恒切于定圆x2＋y2＝.　[典例]