授课章节：第一章实数集与函数---

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1、第一章实数集与函数§1.1实数教学目标：使学生掌握实数的基本性质.教学重点：（1）了解实数的有序性、稠密性和封闭性；（2）牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式.教学难点：实数集的概念及其应用.教学方法：讲授.（部分内容自学）教学过程：一、实数及其性质有理数（-）实数:叹嘗纟（阳为整数且q主0）或有限小数和无限小数.负分数,p无理数:用无限不循环小数表示.R={x兀为实数}--全体实数的集合・问题：有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的.为以下讨论的需要,我们把“有限小数”（包括整数）

2、也表示为“无限小数”.为此作如下规定：对于正有限小数x=an.其中0

3、两个非负实数x=q）qan,y=hn.其屮d（）,%为非负整数，%乞伙=1,2,）为整数，05畋59,05如59・若有色"扌=1,2,,则称兀与）,相等，记为x=y；若a{）>b{}或存在非负整数/，使得cik=bk,k=,2,，/,而%>$+】，则称尢大于y或y小Tx,分别记为x〉y或）yx.对丁•负实数x、y,若按上述规定分别有-x=-y或-兀>-厂则分另U称为y与兀

4、不为0）仍是实数.2）有序性：任意两个实数必满足下列关系之一：ab,a=b・3）传递'性：ac^>a>c・4）P可基米德'性：/a,bwR,b>aN使得na>b・5）稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数.6）实数集R与数轴上的点有着一一对应关系.例2・设fa,beR，证明：若对任何正数有a

5、值Idl就是点Q到原点的距离.认识到这一点非常有用，与此相应，lx-6/l表示就是数轴上点兀与Q之间的距离.（三）性质1）

6、a

7、=

8、-«l>O;

9、a

10、=O«a=O（非负性）;2）-a

11、-h0）；4）对任何a,bwR^a-b^a±b2]^,sinx<1.⑵均值不等式：对/°［卫2,…4丘RS记G(ai)=nla

12、ia2--an=口a：/=!)口丫、n1H(aj=—：—=一—=—1111v-'1v—1—*''~,—一aa2annz=laiz=lai（算术平均值）（几何平均值）（调和平均值）有平均值不等式:H(^.)-1,有不等式(1+x)n>1+ha;ngN.当兀〉一1JI兀hO,a?GNH/2>20^,有严格不等式(1+x)n>1+HX证由1+兀>0且1+兀hO,=>(1+兀)"+斤一1=(1+兀)"+1+1

13、+—+1>>n彳(1+兀)"=z?(1+x).n(1+x)n>1+斤尤(4)利用二项展开式得到的不等式：对V/z>0,由二项展开式Z1八“1,n(n-1),2斤(斤一1)(〃一2)73"(1+h)=1+nh+h~+h+•••+〃，2!3!有(1+〃)">上式右端任何一项.§1.2数集和确界原理教学目标：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念.教学要求：（1）掌握邻域的概念；（2）理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）.教学难点：确界的定义及

14、其应用.教学方法：讲授为主.教学过程：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课.上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章§1.1实数的相关内容•下而，我们先来检验一下自学的效果如何！1、证有：（l）

15、x-I

16、+

17、x-2

18、>l；（2）

19、x-1

20、+

21、x-2

22、4-

23、x-3

24、>2.2、证明：

25、

26、x

27、