资源描述：
《一章节实数集与函数.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第一章实数集与函数§1实数§2数集确界原理§3函数的概念§4复合函数与反函数§1.1实数一.实数及其性质二.绝对值与不等式一.实数及其性质：1.回顾中学中关于有理数和无理数的定义.若规定：1.1实数则有限十进小数都能表示成无限循环小数。实数对正整数对负有限小数（包括负整数）y,先将-y表示成无限小数，再在无限小数前加负号．如:-8=-7.999说明:对于负实数x,y,若有-x=-y与-x>-y,则分别称x=y与xx)2.两个实数的大小关系.)2,1(,,,2,1,.90,90),2,1
2、(,,,.,.110000210210xyyxx，yyxbalkbalbay；x，yxkbaba，kba，babbbbyaaaaxllkkkkkkkknn<>>==>===££££===++或分别记为小于或大于则称而使得或存在非负整数若记为相等与则称若有为整数为非负整数其中给定两个非负实数LLLLLLL1)定义1说明:自然规定任何非负实数大于任何负实数.定义2设为实数x的n位不足近似，而有理数称为x的n位过剩近似，n=0,1,2,….为非负实数.称有理数2)通过有限小数比较大小的等价条件对于负实
3、数其n位不足近似和n位过剩近似分别规定为和注意：对任何实数x,有,命题1设实数的性质1.实数集R对加,减,乘,除(除数不为0)四则运算是封闭的.即任意两个实数和,差,积,商(除数不为0)仍然是实数.2.实数集是有序的.即任意两个实数a,b必满足下述三个关系之一:ab.为两个实数，则实数的性质3.实数集的大小关系具有传递性.即若a>b,b>c,则有a>c.5.实数集R具有稠密性.即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数,且既有有理数,也有无理数.6.实数集R与数轴上的点具有一一对
4、应关系.即任一实数都对应数轴上唯一的一点,反之,数轴上的每一点也都唯一的代表一个实数..,0,,.4bnanabRba,>>>Î使得则存在正整数若即对任何实数具有阿基米德性例1证明例2证明.::,yrxr，yx<<满足存在有理数证明为实数设.,)(21.,yrxyyrxx，ryxryxn，yxnnnnnn<<£<<£+=<<即得且有为有理数则令使得故存在非负整数由于.,:,,babaRba£+<Î则有若对任何正数证明设ee..,,..bababababa,£+<+=-=>从而必有矛盾这与假设为正
5、数且则令有则根据实数的有序性假若结论不成立用反证法eeeea0-a二.绝对值与不等式从数轴上看的绝对值就是到原点的距离：绝对值定义：绝对值的一些主要性质性质4（三角不等式）的证明：几个重要不等式:⑴⑵均值不等式:对记(算术平均值)(几何平均值)(调和平均值)有平均值不等式:等号当且仅当时成立.⑶Bernoulli不等式:(在中学已用数学归纳法证明过)有不等式当且,且时,有严格不等式证由且⑷利用二项展开式得到的不等式:对由二项展开式有上式右端任何一项.作业p4,3,4,6,7§1.2数集·确界原理
6、一、区间与邻域二、上确界、下确界一、区间与邻域1.集合:具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.有限集无限集数集分类:N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集数集间的关系:例如不含任何元素的集合称为空集.例如,规定空集为任何集合的子集.2.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.称为开区间,称为闭区间,称为半开区间,称为半开区间,有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.3.邻域:二
7、有界集·确界原理1有（无）界数集:定义(上、下有界,有界)数集S有上界数集S无上界数集S有下界数集S无下界数集S有界数集S无界＞＜＞闭区间、开区间为有限数）、邻域等都是有界数集，集合也是有界数集.,等都是无界数集,集合也是无界数集.例1证明集合是无界数集.,存在由无界集定义，E为无界集。证明：对任意2确界:例2⑴则⑵则例3设S和A是非空数集，且有则有.例4设A和B是非空数集.若对和都有则有证y是A的上界,是B的下界,例4设A,B为非空数集,满足:证明数集A有上确界,数集B有下确界,且证:故有确界
8、原理知,数集A有上确界,数集B有下确界.是数集A的一个上界,而由上确界的定义知由假设,数集B中任一数都是数集A的上界,A中任一数都是B的下界,是数集A的最小上界,故有而此式又表明数是数集B的一个下界,故由下确界的定义证得例5为非空数集,试证明:证有或由和分别是的下界,有或即是数集的下界,.和又的下界就是的下界,是的下界,是的下界,同理有.于是有综上,有例5为非空数集,试证明:证有或由和分别是的下界,有或即是数集的下界,.和命题3：设数集有上（下）确界，则这上，且，则不妨设有对，使，矛盾。（下）确
