《实数集与函数》PPT课件.ppt

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1、§1实数§2数集.确界原理§3函数概念§4具有某些特性的函数第一章实数集与函数§1实数第一章实数集与函数1.我们用符号“”表示“任取”或“对于任意的”或“对于所有的”,符号“”称为全称量词.几个常用符号2.我们用符号“”表示“存在”.例：命题“对任意的实数x,都存在实数y,使得x+y=1”可表示为“xR,yR,使x+y=1”符号“”称为存在量词.3.我们用符号“”表示“充分条件”比如,若用p,q分别表示两个命题或陈述句.或“推出”这一意思.则“pq”表示“若p成立,则q也成立”.即p是q成立的充分条件.4.我们用符号“”表示“当且

2、仅当”比如“pq”表示“p成立当且仅当q成立”或者说p成立的充要条件是q成立.或“充要条件”这一意思.1.集合集合集合是指具有某种特定性质的事物的总体.集合可用大写的字母A,B,C,D等标识.元素组成集合的事物称为集合的元素.集合的元素可用小写的字母a,b,c,d等标识.a是集合M的元素记为aM,读作a属于M.a不是集合M的元素记为aM,读作a不属于M.一、集合集合的表示列举法把集合的全体元素一一列举出来.例如A{a,b,c,d,e,f,g}.描述法若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成,则M可表示为M{x

3、x具有性质P}.例如M

4、{(x,y)

5、x,y为实数,x2y21}.几个数集所有自然数构成的集合记为N,称为自然数集.所有实数构成的集合记为R,称为实数集.所有整数构成的集合记为Z,称为整数集.所有有理数构成的集合记为Q,称为有理集.子集如果集合A的元素都是集合B的元素,则称A是B的子集,记为AB(读作A包含于B).AB若xA,则xB.显然,NZ,ZQ,QR.2.集合的运算设A、B是两个集合,则AB{x

6、xA或xB}称为A与B的并集(简称并).AB{x

7、xA且xB}称为A与B的交集(简称交).AB{x

8、xA且xB}称为A与B的差集(

9、简称差).ACIA{x

10、xA}为称A的余集或补集,其中I为全集.提示:如果研究某个问题限定在一个大的集合I中进行,所研究的其他集合A都是I的子集.则称集合I为全集或基本集.集合运算的法则设A、B、C为任意三个集合,则有(1)交换律ABBA,ABBA;(2)结合律(AB)CA(BC),(AB)CA(BC);(3)分配律(AB)C(AC)(BC),(AB)C(AC)(BC);(4)对偶律(AB)CACBC,(AB)CACBC.(AB)CACBC的证明所以(AB)CACB

11、C.xACBC,xAC且xBCxABxA且xBx(AB)C直积(笛卡儿乘积)设A、B是任意两个集合,则有序对集合AB{(x,y)

12、xA且yB}称为集合A与集合B的直积.例如,RR{(x,y)

13、xR且yR}即为xOy面上全体点的集合,RR常记作R2.说明:对于负实数x,y,若有-x=-y与-x>-y,则分别称x=y与xx)3.实数集两个实数的大小关系说明:.自然规定任何非负实数大于任何负实数.)2,1(,,,2,1,.90,90),2,1(,,,.,.110000210210xyyxx，yyxbal

14、kbalbay；x，yxkbaba，kba，babbbbyaaaaxllkkkkkkkknn<>>==>===££££===++或分别记为小于或大于则称而使得或存在非负整数若记为相等与则称若有为整数为非负整数其中给定两个非负实数LLLLLLL定义1定义2LLLL,2,1,0101..210210=+===，nnxxx，nxaaaaxaaaaxnnnnnn位过剩近似的称为而有理数位不足近似的为实数称有理数为非负实数设说明:..101..210210210nnnnnnaaaaxaaaaxnaaaaxLLLL-=-=-=与分别规定为位不足近似与过剩近似的负实

15、数说明:.,210210LL³³³£££xxx，nxxxx，nxxnn即有增大时不增当过剩近似即有增大时不减当的不足近似实数命题1..,:..位过剩近似的表示位不足近似的表示其中的充要条件是则为两个实数与设nyy，nxxyxNnyx，bbbyaaaxnnnn>Î$>==+LL实数的性质1.实数集R对加,减,乘,除(除数不为0)四则运算是封闭的.即任意两个实数和,差,积,商(除数不为0)仍然是实数.2.实数集是有序的.即任意两个实数a,b必满足下述三个关系之一:ab.3.实数集的大小关系具有传递性.即若a>b,b>c,则有a>c实数的性

16、质.，则存在正整数n,使得nb>a.即对任何4.实数具有阿基米德性,a>b>0,5.实数集R具