实数集与函数

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1、第一章实数集与函数§1.实数§2.数集.确界原理§3.函数概念§4.具有某些特性的函数1§3.函数概念一.函数的定义1.定义1(P10)2§3.函数概念一.函数的定义2.几点说明3§3.函数概念一.函数的定义2.几点说明(i)分段函数:在定义域不同部分用不同数学式子表示的函数[注意]1)分段点:在分段函数中,两侧数学式子不同的分界点2)分段函数是由几个数学式子合起来表示的一个函数3)计算分段函数的函数值时,要特别注意自变量所在的范围；自变量在哪个范围内就要从该范围所对应的数学式子求值(P15/5)4§3.函数概

2、念一.函数的定义2.几点说明(i)分段函数:在定义域不同部分用不同数学式子表示的函数(ii)用语言表示的函数5§3.函数概念一.函数的定义2.几点说明(i)分段函数:在定义域不同部分用不同数学式子表示的函数(ii)用语言表示的函数6§3.函数概念一.函数的定义2.几点说明(i)分段函数:在定义域不同部分用不同数学式子表示的函数(ii)用语言表示的函数7§3.函数概念一.函数的定义2.几点说明(3)函数的定义域(即存在域);8§3.函数概念一.函数的定义2.几点说明(3)函数的定义域(即存在域);(4)函数的基本

3、要素;例4‘判别下面的函数对是否是相同的函数?9§3.函数概念一.函数的定义2.几点说明(3)函数的定义域(即存在域);(4)函数的基本要素;(5)函数的象与原象(P11);映射与函数[思考题]如何定义单射(injection),满射(surjection)与双射(bijection)10§3.函数概念一.函数的定义2.几点说明(3)函数的定义域(即存在域);(4)函数的基本要素;(5)函数的象与原象(P11);(6)单值函数与多值函数(P11);[思考题]单值函数与单射有区别吗？11§3.函数概念一.函数的定

4、义2.几点说明(3)函数的定义域(即存在域);(4)函数的基本要素;(5)函数的象与原象(P11);(6)单值函数与多值函数(P11);(7)函数的图形[思考题](1)从函数的图形上看,单值函数与多值函数的区别何在?(2)试画出绝对函数,符号函数,取整函数,Dirichlet函数与Riemann函数(P211)的草图.12§3.函数概念一.函数的定义13§3.函数概念二.函数的运算I.函数的四则运算---和、差、积、商1.定义1(P11)14§3.函数概念二.函数的运算I.函数的四则运算---和、差、积、商2.

5、几点说明15§3.函数概念二.函数的运算I.函数的四则运算---和、差、积、商16§3.函数概念二.函数的运算II.函数的复合运算---复合函数1.引言在有些实际问题中函数的自变量与因变量之间的对应关系是通过另外一些变量才能建立起来.17§3.函数概念二.函数的运算II.函数的复合运算---复合函数2.定义(复合函数)(P12)设有两个函数18§3.函数概念二.函数的运算II.函数的复合运算---复合函数2.定义(复合函数)(P12)19§3.函数概念II.函数的复合运算---复合函数2.定义(复合函数)(P1

6、2)二.函数的运算20§3.函数概念II.函数的复合运算---复合函数3.几点说明(1).并非任意两个函数都可以做复合运算的.二.函数的运算21§3.函数概念II.函数的复合运算---复合函数3.几点说明(1).并非任意两个函数都可以做复合运算的.(2).复合运算可以推广到多于一个中间变量的情形.二.函数的运算22§3.函数概念II.函数的复合运算---复合函数3.几点说明(1).并非任意两个函数都可以做复合运算的.(2).复合运算可以推广到多于一个中间变量的情形.(3).分段函数的复合.二.函数的运算23§3

7、.函数概念II.函数的复合运算---复合函数3.几点说明(1).并非任意两个函数都可以做复合运算的.(2).复合运算可以推广到多于一个中间变量的情形.(3).分段函数的复合.(4).不仅要会复合,更要会“分解”.二.函数的运算24§3.函数概念III.反函数运算---反函数二.函数的运算1.定义(反函数)(P13)为什么不称为“原函数”呢？25§3.函数概念III.反函数运算---反函数二.函数的运算1.定义(反函数)(P13)26§3.函数概念III.反函数运算---反函数二.函数的运算2.几点说明(1).在

8、单值函数意义下,并非每个函数都有反函数.27§3.函数概念III.反函数运算---反函数二.函数的运算2.几点说明28§3.函数概念二.函数的运算29§3.函数概念三.初等函数I.基本初等函数1.定义(P14)30§3.函数概念三.初等函数I.基本初等函数2.几点说明见[P15/9,10]31§3.函数概念三.初等函数I.基本初等函数2.几点说明32§3.函数概念三.初等函数I.基本初