第一章实数集与函数

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1、第一章实数集与函数P.4习题1．设a为有理数，x为无理数，证明：（1）a+x是无理数；（2）当时，ax是无理数.证明（1）（反证）假设a+x是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知x=a+x–a是有理数.这与题设“x为无理数”矛盾，故a+x是无理数.（2）假设ax是有理数，于是是有理数，这与题设“x为无理数”矛盾，故ax是无理数.3．设，证明：若对任何正数ε有，则a=b.证明由题设，对任何正数ε有，再由教材P.3例2，可得，于是，从而a=b.另证（反证）假设，由实数的稠密性，存在r使得.这与题设“对任何正数ε有”矛盾，于是，

2、从而a=b.5．证明：对任何有（1）；（2）证明（1）（2）因为，所以6．设证明证明建立坐标系如图，在三角形OAC中，OA的长度是，OC的长度是，AC的长度为.因为三角形两边的差小于第三边，所以有157．设，证明介于1与之间.证明因为，所以介于1与之间.8．设p为正整数，证明：若p不是完全平方数，则是无理数.证明（反证）假设为有理数，则存在正整数m、n使得，其中m、n互素.于是，因为p不是完全平方数，所以p能整除n，即存在整数k，使得.于是，，从而p是m的约数，故m、n有公约数p.这与“m、n互素”矛盾.所以是无理数.P.

3、9习题2．设S为非空数集，试对下列概念给出定义：（1）S无上界；若，，使得，则称S无上界.（请与S有上界的定义相比较：若，使得，有，则称S有上界）（2）S无界.若，，使得，则称S无界.（请与S有界的定义相比较：若，使得，有，则称S有界）3．试证明数集有上界而无下界.证明，有，故2是S的一个上界.而对，取，，但.15故数集S无下界.4．求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：（1）解，.下面依定义加以验证（可类似进行）.，有，即是S的一个上界，是S的一个下界.，若，则，都有；若，则由实数的稠密性，必有实数r，使得，即，不是

4、上界，所以.（2）解S无上界，故无上确界，非正常上确界为.下面证明：.①，有，即1是S的一个下界；②，因为，即不是S的下界.所以.(3)解仿照教材P.6例2的方法，可以验证：.⑷解，首先验证.①，有，即1是S的一个上界；15②，取正整数，使得，于是取.从而，且.所以5．设S为非空有下界数集，证明：证明：）设，则对一切，有，而，故是数集S中的最小的数，即.）设，则；下面验证；⑴对一切，有，即是数集S的下界；⑵对任何，只须取，则.所以.6．设S为非空数集，定义.证明：⑴⑵证⑴设，下面证明：.①对一切，有.因为，所以有，于是，即

5、是数集S的上界；②对任何，有.因为，所以存在，使得.于是有，使得.由①，②可知.7．设A、B皆为非空有界数集，定义数集证明：（1）；（2）证明（1）因为A、B皆为非空有界数集，所以和都存在.15，由定义分别存在，使得.由于，，故，即是数集的一个上界.，（要证不是数集的上界），，由上确界的定义，知存在，使得.于是，再由上确界的定义，知存在，使得.从而，且.因此是数集的上确界，即另证，由定义分别存在，使得.由于，，故，于是.①由上确界的定义，，，使得，，使得，从而，由教材P.3例2，可得②由①、②，可得类似地可证明：P.15习

6、题9．试作函数的图象解是以2π为周期，定义域为，值域为的分段线性函数，其图象如图.11．试问是初等函数吗？15解因为，可看成是两个初等函数与的复合，所以是初等函数.12．证明关于函数的如下不等式：（1）当时，（2）当时，证明（1）因为，所以当时，有，从而有.（2）当时，在不等式中同时乘以x，可得，从而得到所需要的不等式.P.20习题1．证明是R上的有界函数.证明因为对R中的任何实数x有所以f在R上有界.2．（1）叙述无界函数的定义；（2）证明为（0，1）上的无界函数；（3）举出函数f的例子，使f为闭区间[0，1]上的无界函

7、数.解（1）设函数，若对任何，都存在，使得，则称f是D上的无界函数.（2）分析：，要找，使得.为此只需.15证明，取，则，且，所以f为区间（0，1）上的无界函数.（3）函数是闭区间[0，1]上的无界函数.7．设、为定义在上的有界函数，满足，证明：⑴；⑵证⑴，有，即是在上的一个上界，所以.⑵，有，即是在上的一个下界，所以.8．设为定义在上的有界函数，证明：⑴；⑵证⑴，有，于是，即是在上的一个下界，从而，所以①反之，，有，于是，即是在上的一个上界，从而②由①，②得，.9．证明：在上无界，而在内任一闭区间上有界.15证，取，于是

8、.则有，所以在上无界.在内任一闭区间上，取，则，必有，所以在上有界.10．讨论狄利克雷函数，的有界性，单调性与周期性.解函数是有界函数：.不是单调函数.是周期函数，任何一个正有理数都是它的周期，故它没有最小周期.证明如下：设r是任一正有理数.若x是有理数，则是有理数，于是；若x是无理数，则是无理数，于是