级数敛散性判定方法的研究　　 　开题报告

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1、开题报告级数敛散性判定方法的研究　　　一、选题的背景、意义级数是研究函数性质及进行数值计算的有力工具，并且在生活中的应用也很广泛，但是在十八世纪，数学家们不去考虑级数的敛散性，而是不加辨别地使用无穷级数，结果得到了一些完全荒谬的答案，这也就迫使一些数学家们开始进行对级数敛散性的研究.从Fourier在他的《热的解析理论》一书中提出了一个无穷级数收敛的满意的定义，到Gauss对级数的敛散性做出了第一个重要而严密的研究，再到Cauchy给出了第一个关于级数敛散性这一课题的具有广泛意义的论述，接着到Abel对Cauchy给出的一些理论的完善，

2、以及Weierstrass关于一致收敛的概念等，都对级数的发展做出了非常巨大的贡献.级数的敛散性对物理学的研究也有很大的用处，如Laplace的《天体力学》中所用到的级数，都有利用收敛级数的性质.并且级数作为微积分中的一种重要工具，也为微积分的发展做出了很大的贡献.因此，在当今的学科和生活领域中，级数的作用是很值得重视的，并且，很多专家学者仍在潜心研究级数的敛散性问题，从而，本课题的研究也是很有必要的.二、研究的基本内容与拟解决的主要问题本课题拟对级数的敛散性判别法进行研究，旨在通过分析不同类型的级数，得到解决不同类型级数的敛散性的判别

3、方法.传统的判断数项级数敛散性的方法有很多，对于正项级数收敛，判断其敛散性的方法有：看它的部分和数列是否有上界，若有则收敛，没有则发散；或者用比较法；还有D’Alembert判别法；Cauchy判别法；积分判别法以及Raabe判别法等等.对于一般项级数，判断其敛散性的方法有Leibniz判别法；Abel判别法；Dirichlet判别法等等.本课题的研究将在上述结论的基础上，通过阅读相关文献，整理出一些新的方法.对于正项级数，我们主要将讨论以下方法：（一）P级数判别法定理1设为一正项级数，为P级数，且，则1.当且时，正项级数收敛.2.当且

4、时，正项级数发散.定理2设为一正项级数，为P级数，且，若当时，，则当时，正项级数收敛.如级数可以利用P级数来判断其收敛.（二）Kummer判别法定理3设，，，且存在某自然数及常数，1.当时，有，级数收敛.2.当时，有，且，则级数发散.如级数，当时的收敛性可以利用Kummer判别法的特例Raabe判别法来得到.（三）一类正项级数收敛判断的推广定理4若，则收敛的充要条件是级数收敛.通过这种方法可以判断级数与的收敛性关系.（四）几个新的判别法定理5如果对于充分大的，，，，且，那么级数收敛.如级数的敛散性可以通过此方法可到.定理6对于正项级数，

5、如果，那么.如级数的敛散性可以据此得到.定理7对于正项级数，若存在某一正整数，有那么：1.当时，级数收敛；2.当时，级数发散【15】.如可以利用这种方法来判断级数的敛散性.（五）阶估计法可以用阶估计法来判定级数是发散的.对于一般项级数的敛散性，我们将讨论以下方法：（一）定理8：当不改变级数项的排序，只对级数的项加括号来进行重组，那么：1.若原级数是收敛的，则重组后的级数也是收敛的，并且它的和不变.2.若原级数的敛散性是未知的，则重组后的级数即使是收敛的，原级数的敛散性仍不能确定.3.若重组后的级数是发散的，则原来的级数一定是发散的.当改

6、变级数项的顺序对其进行重新组合，将所得的新级数称为原级数的更序级数，那么：1.若原级数是绝对收敛的，那么其更序级数仍然是绝对收敛的，并且和不变.2.若原级数是条件收敛的，那么其更序级数的敛散性不能判断，不同的重组，得到的和一般也是不同的.3.若级数是条件收敛的，则总是可以对它的顺序进行适当的调整，使得到的更序级数可以收敛于任何事先给定的数，包括.如级数的敛散性可以通过此方法得到.（二）推广的无穷级数的比值判别法即把正项级数中相隔一定距离的两项做比值，而不是相邻的两项，再由比值或与比值相关的式子的变化趋势得到级数的敛散性.如级数可以用此方

7、法得到它是发散的.而对于函数项级数，则是主要讨论其一致收敛性，判别方法有Cauchy准则，比较法，Dirichlet判别法，Abel判别法，余项准则等等.三、研究的方法与技术路线、研究难点，预期达到的目标本课题采用归纳总结法，研究了数项级数的敛散性判别法，对函数项级数的敛散性判别稍作探究.对于数项级数的敛散性判别法研究主要用到了Cauchy判别法，P级数判别法，Kummer判别法，数项的重组，无穷级数的比值判别法的推广等等.对于函数项级数，采取的研究方法主要是Dirichlet判别法，Abel判别法，余项准则等等.给出了方法后，再由例子

8、进行巩固.由于级数的敛散性判别法本就是数学分析中的一大难点，因此在这一课题的研究中，对于各种判别法的掌握与运用上应会有一定的难度.尽管研究的内容有一定的难度，但是，“科学有险阻，苦战能过关”，我相信通过努力