浅谈交错级数敛散性的判定

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1、浅谈交错级数敛散性的判定摘要：交错级数的敛散性主要用莱布尼兹定理来判別，本文给出了几个冇用的结论来判断某些特殊的交错级数的敛散性，并总结了关于交错级数敛散性判别的一些常用方法。归纳了如何使用该定理证明交错级数的敛散性,并在莱布尼兹审敛法失效时，提供了判足交错级数敛散性的方法。关键词：交错级数收敛莱布尼兹审敛法单调递减1引言在数学分析中，对级数敛散性的判别是一个重要的内容。级数敛散性的柯西判别准则虽然给岀了判断级数收敛的充耍条件，从逻辑上讲，它适应于一切级数敛散性的判断，但是通常在判別具体级数的敛散性时，使用柯西判别准则是有困难的，甚至是无

2、法进行的，因为要检测一个具体的级数是否满足这个判别准则的条件本身就不比检测这个级数是否收敛容易。特别是判别一个交错级数是否收敛时使用柯西判别准则往往失效。在常用的数学分析教材中判别交错级数是否收敛方法很少，一般地只有莱布尼茨判别法。莱布尼茨判别法只针对莱布尼茨型级数有效,对于更多的非莱布尼茨型级数敛散性的判別存在困难。在用莱布尼兹审敛法证明交错级数敛散性的过程屮,验证两个条件成立有一定的难度。在两个条件失效时，那么该如何判断呢？下面就来谈谈如何使用莱布尼兹审敛法验证交错级数的敛散性。2基本概念及定理定义1：若级数的各项符合正负相间，即：0

3、0Wj—U-)+“3—“4…+(―1)"+....=为(—1)"1Ufl(n>0,n—1,2,3,4)n=l00则称级数£(-1)心血为交错级数。n=l00则称级数工冷为绝/?=1000000对收敛；若级数£冷收敛而£机

4、发散，则称£知为条件收敛。n=ln=l/i=]0定理1：（交错级数收敛的必要条件）若交错级数£（-1）心冷（冷>o）W=1收敛,贝IJ有limu”=O。H->CO00定理2：（莱布尼茨判别法）若交错级数£（-1）心他满足下述两个条件:/

5、=1(1)hmun=0；>30（2）数列｛知｝单调递减;8则该交错级数£（-1）""

6、暫收敛。n=I3交错级数敛散性判别的方法当遇到一个交错级数时，该如何判断敛散性呢？大致从以下步骤入手：3.1必要性判别交错级数发散由定理1知，其逆否命题成立,即:若limwn^0,则交错级数£（-1）”-九（n>0）M=1发散。因此，可以判别交错级数的发散性。例1判别下列级数的敛散性。(1)£(-1严n-+12n-0£(-1)心n=1nsin—n解（1）为交错级数，“诙’则昨呵诙*0,因此交错级数8£(-旷n=+12n-l发散。（2）此级数为交错级数，un=nsin-n11sin—limun=limnsin—=lim—=1^(

7、),7T—>00PI—>8M/!->00In81因此交错级数发散y(-If'nsin—on=ln3.2莱布尼兹判别法可以判别交错级数收敛只耍能验证莱布尼兹判别法的两个条件，那么这样的交错级数一定收敛。例2判别下列级数的敛散性001001<1）工（-旷-（2）工（-1）J心nn=l/解（1）此级数为交错级数，limu“=lim丄二0；且冷-叫一产丄-一=—>0,即数列｛冷｝单调递减。”M1nn+讪+1）oc1因此，交错级数Yc-ir1-收敛。H=i（2）此级数是交错级数，limu”=limg=O；且数列｛丄｝显然单调递减。"T8>00卅肝

8、0C1因此级数Tc-d^-V收敛。H=i注：例2中的两个级数虽然都收敛，但是他们通项所组成的级数，即正项级1181数工丄发散，正项级数为丄收敛；因此级数£（-iyi丄条件收敛，而级数n”H=1“oc1£（-1）2斗绝对收敛。例3验证级数£（_1）心器收敛。n=IV斤证明此级数为交错级数，冷二器,yjn令/（X）二lnx石‘小）七）'2-lnxx2xy[x口lim比”=1=lim=lim—=lim~^==0；sJn"too]--nfgjn—n22当2时,有数列｛学｝单调递减;所以当n>e2时，级数£（_1）评收敛。V“72=1VX而当

9、

10、错级数定理3：若级数工叫和》叫都收敛，c、d是常数，则级数工（叫+化）也收敛。推论1：若级数和工叫其中一个收敛，另一个发散，则级数工（5+化）发散。结论1：几何级数当同VI时,级数工/收敛；当