【数学与应用数学专业】【毕业论文】论级数求和的解题策略

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1、（　20　届）本科毕业论文论级数求和的解题策略25摘要:在科研领域中，我们经常需要研究如何求级数的和。因为级数求和的方法通常比较灵活且技巧性强，所以本文在阅读大量文献的基础上,主要对级数求和的若干种方法经行了综述，如幂级数法、傅里叶级数法、微分方程法等。关键词：级数；级数收敛；级数求和25OnTheSumofSeriesProblemSolvingStrategyAbstract:Inthefieldofscientificresearch,weoftenneedtostudyhowtofind

2、thesummationofseries.Becausethemethodofseriessummationtechniquesareusuallymoreflexibleandstrong,thusonthebasisofreadingextensiveliterature,thisarticlereviewsseveralmethodswhichweremainlytotheseriessummation,suchaspowerseriesmethod,Fourierseriesmethod

3、,differentialequationmethodandsoon.Keywords:Series；SeriesConvergence；SummationofSeries25目录1引言12级数求和的解题策略12.1根据收敛定义求数项级数的和12.2利用幂级数求数项级数的和72.3利用傅里叶级数求数项级数的和102.4利用递推公式求数项级数的和132.5利用微分方程求数项级数的和162.6通过求导求数项级数的和172.7利用差分求数项级数的和192.8利用概率组合求数项级数的和223致谢264参

4、考文献27251引言级数理论是数学研究的重要对象，它不但在日常的生产、生活中都有广泛的应用，而且还是研究函数性质进行数值计算的有力工具。其中级数求和是级数理论的基本问题之一，也是较难解决的问题，因为除等比级数、等差级数等一些常见的特殊级数外，一般级数都难以求出它的部分和，所以级数求和的方法比较灵活，技巧性也比较强，因此懂得一些解题策略和掌握一些解题方法也就显得尤为重要。无穷级数出现的很早，往往都是出现在对个别问题的研究中。到了中世纪，无穷级数引起了当时哲学家与数学家的兴趣。17世纪微积分诞生之后

5、，无穷级数作为一种工具在数学的前进中起到了巨大的推动作用。为了把早期的微积分方法应用于超越函数，常常需要把这些函数表示为可以逐项微分或积分的无穷级数，泰勒定理为此做出了贡献。将函数展成无穷级数之后，人们又在考虑这个问题的逆问题，即级数的求和问题[1]。现今数学理论的学习与研究中，无穷级数也是一个有效工具，无穷级数求和更是一块重要内容，它促使数学家在数学发展上进行大胆的尝试，虽然产生许多悖论，但使数学产生了很多分支，丰富了数学理论的发展。经过历史的研究与发展，结合历史上大量数学家的研究理论与所得结

6、论。当今学者还对级数问题与级数求和问题都做出了深入的考察与进一步的探究，创造性地提出了许多级数求和的策略与方法。此外，发散级数在天文、物理上的广泛应用，更是推动了人类发展的进步。2级数求和的解题策略2.1根据收敛定义求数项级数的和25定义1[2]：给定一个数列，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式⑴称为数项级数或无穷级数（也常简称级数），其中称为数项级数⑴的通项。数项级数⑴也常写作：或简单写作.25数项级数⑴的前项和，记为⑵称它为数项级数⑴的第个部分和，也简称部分和。定义2[2]：若数项级数

7、⑴的部分和数列收敛于（即），则称数项级数⑴收敛，称为数项级数⑴的和，记作或若是发散数列，则称数项级数⑴发散。一、待定系数法定义[3]：将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，再通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫待定系数法。其一般用法是，设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用两个多项式恒等时同类项系数相等的原理或其它已知条件确定这些系数，从而得到待求的值。从更广

8、泛的意义上讲，待定系数法是将某个解析式的一些常数看作未知数，利用已知条件确定这些未知数，使问题得到解决的方法。求函数的表达式，把一个有理分式分解成几个简单分式的和，求方程的级数形式的解等都可以用这种方法。因此，对于某些形如的级数，其中为一关于的既约有理真分式，即可运用待定系数法化为部分分式，然后将所有部分分式通分相加，所得分式的分母即为原分母，而其分子亦与原分子恒等，于是，按同幂项系数必定相等，得到一组关于待定系数的线性方程，这组方程的解即为所需确定的系数，从而得到我们所需的部分分式。然后作适当