【数学与应用数学专业】【毕业论文】利用傅里叶级数进行数列求和的方法

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1、（20__届）本科毕业论文利用傅里叶级数进行数列求和的方法摘要：数列是数学中很重要的内容，很多事物的一些关系可以运用数列来表示，而数列求和是其很重要的内容之一。数列求和的方法有很多：公式法、错位相减法、倒序相加法、分组法、裂项法、数学归纳法、通项化归、并项求和等等。但不是所有的数列都可以利用以上方法进行求和，因此我们就需要去寻找新的方法。这时，我们可以引入傅里叶级数来对某些数列进行求和。傅里叶级数是一种特殊的三角级数，是由法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出的。有了傅里叶级数，就可以在这个方向上对一类数列求和进行探讨。本文具体介绍了傅里叶级数的相关知识，用丰

2、富的例子归纳总结了需要用傅里叶级数进行求和的数列类型。关键词：傅里叶级数；数列；求和TheMethodofSequenceSummationbyFourierSeriesAbstract:Sequenceisveryimportantinmathematics.Therearemanyrelationsbetweenobjectsexpressedbysequences.Summationisoneoftheveryimportantcontent.Thereexistmanymethodstogetthesummationofsequence.Forexample,formulame

3、thod,dislocationphasesubtraction,addingmethodinreversechronologicalorder,groupinglaw,crackstudymethod,mathematicalinduction,generaltermturning,additemsummation,etc.Butwefindthatnotallsequencesummationsolvedbythesemethods.Weneedtoseeknewways.Atthistime,wemayintroducethefourierseriestogetsumofsepu

4、ences.Fourierseries,aspecialkindofthetrigonometricseries,israisedbyJ.-B.-J.Fourier,aFrenchmathematician,whilestudyinginaresearchaboutboundaryvalueofpartialdifferentialequation.Usingfourierseries,wecandiscussaboutaclassofsequencesummationinthisdirection.Inthisarticle,weintroducetherelativetheoryo

5、ffourierseriesfirstly.Secondly,weconcludethemethodofsequencesummationbyfourierserieswithmanyexamples.Keywords:Fourierseries;sequence;summation目录1引言12傅里叶级数的相关概念介绍22.1傅里叶级数22.1.1以为周期的函数的傅里叶级数22.1.2以为周期的函数的傅里叶级数42.2偶函数与奇函数的傅里叶级数52.3函数的傅里叶级数的展开式63傅里叶级数的收敛定理及其判别法93.1函数项级数的收敛定理及其判别法93.2傅里叶级数收敛定理103.3傅

6、里叶级数收敛性的判定定理113.3.1Dini判别法113.3.2Jordan判别法123.4傅里叶级数的求和理论124傅里叶级数在数列求和中的应用144.1利用傅里叶级数进行数列求和144.2应用举例154.2.1类无穷级数和的傅里叶求法154.2.2其他例子175总结21致谢22参考文献231引言数列是数学中很重要的内容，很多事物的一些关系都可以运用数列来表示，而数列求和是其很重要的内容之一。数列求和的方法有很多：公式法、错位相减法、倒序相加法、分组法、裂项法、数学归纳法、通项化归、并项求和等等。然而，随着科学技术的发展，人们对自然界的认识逐步深化，可以发现许多数列运用一般的方法已

7、经满足不了求和的需要，因此要求人们去构造和探究新的方法。这时，我们不妨可以引入傅里叶级数来对某些数列求和进行探讨。傅里叶级数是一种特殊的三角级数，是由法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出的。在中国，程民德最早系统研究过多元三角函数级数与多元傅里叶级数，他首先证明多元三角级数球形和唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯-博赫纳球形平均的许多特性。有了傅里叶级数，我们也就可以在这个方向上对一类数列求和进行探讨。本文介绍